Beweis: aus char. Poly und Min. Poly kann man die JNF bestimmen

06.11.2010, 14:29	Geolin	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: aus char. Poly und Min. Poly kann man die JNF bestimmen Meine Frage: Sei A ein element aus Mat(3x3,C). Beweisen Sie, dass sich aus dem charakteristischen Polynom und dem Minimalpolynom von A die Jordansche Normalform ablesen läßt. Begründen Sie ferner, warum diese Ausage für 4 × 4 Matrizen nicht stimmt. Meine Ideen: Sei $\begin{eqnarray} A= \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann ist ja in der JNF alles unter der Hauptdiagonalen null. Die Hauptdiagonale besteht aus den Nullstellen des char. Polynoms. $\begin{eqnarray} a_{2},b_{3} \end{eqnarray}$ sind entweder 0 oder 1. $\begin{eqnarray} a_{3} \end{eqnarray}$ ist auch gleich null, da es weder auf der Hauptdiagonalen stehtnoch direkt darüber. => $\begin{eqnarray} A= \begin{pmatrix} EW1 & a_{2} & 0 \\ 0 & EW2 & b_{3} \\ 0 & 0 & EW3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wie bestimme ich jetzt $\begin{eqnarray} a_{2},b_{3} \end{eqnarray}$ ?
06.11.2010, 15:28	Geolin	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hoffe das ist soweit richtig, aber kann mir denn niemand helfen?
06.11.2010, 20:49	Vanylar	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab die gleiche Aufgabe,von daher wäre auch ich sehr dankbar für einen Tipp.
07.11.2010, 22:23	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaub Lina 2 Aufgaben sind hier nicht mehr so willkommen. Jedenfalls kann man ja noch sagen, dass man anhand der Vielfachheit eines EW die Anzahl der Blöcke zu diesem Eigenwert ablesen kann. Ich habe mal bei Onkel Google nchgeschaut und dort sogar das Gegenteil gelesen, als die Aufgabenstellung impliziert. Nämlich das man alleine aus dem CP und MP die JNF eben nicht ablesen kann, weil man die Länge der Blöcke nicht kennt. Aber vielleicht ist es ja bei einer 3 x 3 Matrix etwas spezielles und es klappt bei einer solchen Matrix eben doch wieder. Eh irgendwie ein doofes ÜB diese Woche. Edit : Ne umgekehrt , man sieht am Exponenten den größten Block zu diesem Eigenwert, nicht aber die Anzahl der Blöcke.Woraus man es wohl bei kleineren Matrizen wie 3 x 3 doch noch ablesen kann, weil es eine begrenzte Möglichkeit für die JNF gibt. Ab 4 x 4 Möglichkeiten ist dies leider nicht mehr so leich einzuschränken..
07.11.2010, 22:41	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind die Eigenwerte und damit entsprechend ihrer (algebraischen) Vielfachheit Diagonaleinträge einer Jordannormalform. Allerdings sagt das nichts über die geometrische Vielfachheit und damit Anzahl der Jordan-Kästchen aus. Die Vielfachheit einer Nullstelle im Minimalpolynom sagt hingegen aus, wie groß das größte Jordankästchen zum entsprechenden Eigenwert ist. Bei einer $\begin{eqnarray} 4\times 4 \end{eqnarray}$ Matrix könnte das char. Polynom z.B. $\begin{eqnarray} (x-a)^4 \end{eqnarray}$ und das Minimalpolynom $\begin{eqnarray} (x-a)^2 \end{eqnarray}$ sein. In diesem Fall hätte man Pech, denn die Jordan-Normalform könnte sowohl $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & 1& 0& 0 \\ 0 & a&0&0\\0&0&a&1\\0&0&0&a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ als auch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & 1& 0& 0 \\ 0 & a&0&0\\0&0&a&0\\0&0&0&a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sein. Bei einer $\begin{eqnarray} 3\times 3 \end{eqnarray}$ Matrix kann man sich leicht überlegen, dass so etwas nicht sein kann. Die $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ lässt sich nur als $\begin{eqnarray} 3 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} 1+2 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} 1+1+1 \end{eqnarray}$ schreiben! Kennen wir die Größe des größten Jordankästchens haben wir (bis auf Reihenfolge) alle Informationen.
07.11.2010, 22:44	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau so hatte ich es mir vorgestellt. Danke für deine Antwort Cugu ^^
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