Kov(X, Y)

06.11.2010, 15:06

eisley

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Kov(X, Y)

Hallo zusammen!

Aufgabenstellung

Eine Zufallsvariable X im Intervall (1, 0) wird gemäss der Dichte

$\begin{eqnarray*} f(x) = 2x, 0 <x<1 \\ f(x) = 0, sonst. \end{eqnarray*}$

gewählt. Eine zweite Zufallsvariable Y wird gleichmässig im Intervall (0, X) gewählt. Bestimme die Kovarianz Kov(X, Y).

Meine Ideen:

Nun ich habe zuerst die Funktion f(y) bestimmt:

$\begin{eqnarray*} f(y) = \frac{1}{x}, y \in (0, X) \\ f(y) = 0, sonst. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Kov(X,Y)= E[XY] - E[X]E[Y] \end{eqnarray*}$

ich berechne also zuerst die benötigten Eigenwerte:

$\begin{eqnarray*} E[X] = \int_0^1 2x^2 dx = \frac{2}{3} \\ E[Y]= \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$

weiter weiss ich:

$\begin{eqnarray*} E[XY] = \int_0^1 \int_0^x xy \cdot f(x,y) dy dx \end{eqnarray*}$

..von da an habe ich Probleme. Wie finde ich denn die Funktion f(x,y)?

lieben Dank für eure Unterstützung!

eisley

06.11.2010, 17:22

René Gruber

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Aus den Angaben der Aufgabenstellung ist die bedingte Dichte

$\begin{eqnarray*} f_{Y \mid X}(y,x) = \frac{\dd}{\dd y}P(Y \leq y \mid X=x) \end{eqnarray*}$

ablesbar, und zwar konkret aus dem Satz

Zitat:

Original von eisley
Eine zweite Zufallsvariable Y wird gleichmässig im Intervall (0, X) gewählt.

Übersetzt:

$\begin{eqnarray*} f_{Y \mid X}(y,x) = \frac{1}{x}\cdot 1_{(0,x)}(y) = \begin{cases} \frac{1}{x} &\;\mbox{für}\; 0<y<x \\ 0 &\;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Damit ergibt sich die Gesamtdichte $\begin{eqnarray*} f_{X,Y}(x,y) = f_X(x)\cdot f_{Y \mid X}(y,x) \end{eqnarray*}$ des Zufallsvektors $\begin{eqnarray*} (X,Y) \end{eqnarray*}$ , ausführlich geschrieben

$\begin{eqnarray*} f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} 2x\cdot \frac{1}{x} = 2 &\;\mbox{für}\; 0<y<x<1 \\ 0 &\;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Es ist nicht gut, dass du alle Dichten einfach nur $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nennst. Das ist Ok, wenn nur eine Zufallsgröße im Spiel ist, aber wenn es wie hier um mehrere Dichten geht, dann fährt man besser, wenn man diese klar unterschiedlich kennzeichnet (z.B. durch Indizes, wie bei mir oben zu sehen) - beugt einfach Verwechslungen vor.

07.11.2010, 09:44

eisley

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ah super! danke..

ich berechne dann zuerst

$\begin{eqnarray*} \int_0^x 2xy dy = 2x^2y \end{eqnarray*}$

und erhalte $\begin{eqnarray*} E[XY] \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 2x^2y dx = \frac{2y}{3} \end{eqnarray*}$

vielen lieben Dank und einen schönen Sonntag!

07.11.2010, 10:22

René Gruber

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Zitat:

Original von eisley
ich berechne dann zuerst

$\begin{eqnarray*} \int_0^x 2xy dy = 2x^2y \end{eqnarray*}$

Nein, du bist unkonzentriert bei der Sache. unglücklich

unglücklich

Richtig ist

$\begin{eqnarray*} \int_0^x 2xy ~ \dd y = \Big[ xy^2 \Big]_{y=0}^x = x^3 \end{eqnarray*}$ .

Die Rechnung für $\begin{eqnarray*} E(XY) \end{eqnarray*}$ ist dann natürlich ein Folgefehler.

Allerdings hättest du auch selbst merken müssen, dass etwas nicht stimmt: Der Endwert $\begin{eqnarray*} E(XY) \end{eqnarray*}$ kann doch nicht mehr von den Variablen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ abhängen, sondern muss eine Zahl sein, die allenfalls von Verteilungsparametern abhängen darf (die es hier bei der konkreten Verteilung allerdings nicht gibt).

P.S.: Deine obige Rechnung für $\begin{eqnarray*} E(Y) \end{eqnarray*}$ musst du natürlich auch korrigieren, denn die tatsächliche Dichte $\begin{eqnarray*} f_Y \end{eqnarray*}$ ergibt sich als Randverteilungsdichte aus $\begin{eqnarray*} f_{X,Y} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f_Y(y) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) ~ \dd x = \int\limits_y^1 2 ~ \dd x = 2(1-y) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0<y<1 \end{eqnarray*}$ (sonst Null).

07.11.2010, 10:58

eisley

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uh ja - da war ich wohl noch nicht richtig wach.. also noch einmal:

$\begin{eqnarray*} \int_0^x 2xy dy = x^3 \\ \\ \int_0^1 x^3 dx = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

es ist also $\begin{eqnarray*} E[XY]= \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

.. und noch zur Korrektur:

meine Funktion $\begin{eqnarray*} f_Y(y) \end{eqnarray*}$ lautet:

$\begin{eqnarray*} f_Y(y) = 2-2y \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0<y<1 \end{eqnarray*}$ und 0 sonst.

..und wie berechnet sich genau mein $\begin{eqnarray*} E[Y] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 2y(1-y) dy = \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ ..?

jetz hab ich mir glaub ein Riesendurcheinander gemacht..

07.11.2010, 11:04

René Gruber

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Es gilt nach wie vor $\begin{eqnarray*} E(Y) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} yf_Y(y) ~ \dd y \end{eqnarray*}$ .

Also mal ganz ruhig und konzentriert rangehen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT: ... Ahja, soweit bist du jetzt auch. Aber die Integralberechnung ist falsch, also wie gesagt: Ruhig angehen.

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07.11.2010, 11:05

eisley

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warum setze ich die Grenzen $\begin{eqnarray*} + \infty / - \infty \end{eqnarray*}$ ? dann wäre ja mein E[X] auch falsch..

traurig

traurig

ah okay.. ja. also ich rechne noch einmal! haha herrje.

07.11.2010, 11:09

René Gruber

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Zitat:

Original von eisley
warum setze ich die Grenzen $\begin{eqnarray*} + \infty / - \infty \end{eqnarray*}$ ?

Nun bleib doch mal ganz ruhig: Das ist doch nur die allgemeine Formel. Wenn du dein konkretes $\begin{eqnarray*} f_X \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f_Y \end{eqnarray*}$ einsetzt, dann reduziert sich das im wesentlichen auf das Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ , weil diese Dichten ja außerhalb dieses Intervalls gleich Null sind. Es ist also

$\begin{eqnarray*} E(Y) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} yf_Y(y) ~ \dd y = \int\limits_0^1 2y(1-y) ~ \dd y \end{eqnarray*}$ ,

so wie du es zuletzt ja auch aufgeschrieben hattest.

07.11.2010, 11:12

eisley

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$\begin{eqnarray*} E[Y] = \int_0^1 2y(1-y) dy = y^2 - \frac{2y^3}{3} |_0^1 = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

07.11.2010, 11:13

René Gruber

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Gut, jetzt nur noch ein winziger Schritt bis zur Kovarianz. Freude

Freude

07.11.2010, 11:15

eisley

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ja.. phü. habs geschafft. danke! Gott

Gott

ich weiss irgendwie nicht, habe in Analysis und Algebra keine grossen Probleme - aber die Wahrscheinlichkeitstheorie haut mich unter den Tisch! obwohl es eigentlich das einfachste ist.. haha

vielen lieben Dank für eine Geduld auch bei allen anderen Fragen und einen schönen Sonntag!

07.11.2010, 11:18

René Gruber

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Zum Abschluss noch eine Einordnung dieser Verteilung: $\begin{eqnarray*} (X,Y) \end{eqnarray*}$ ist stetig gleichverteilt auf folgender Dreiecksfläche

.

Die Erwartungswerte $\begin{eqnarray*} E(X),E(Y) \end{eqnarray*}$ entsprechen dabei den Koordinaten des Schwerpunkts dieser Dreiecksfläche.

07.11.2010, 11:19

eisley

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Freude

09.11.2010, 16:01

eisley

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Hallo !!

..ich wollte zur Übung noch einmal eine ähnliche Aufgabe lösen und die Sache festigen.. nun ja, mein Plan ging nicht ganz auf! traurig

traurig

Hier zunächst einmal meine Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = 10x^2y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0 \leq y \leq x \leq 1 \end{eqnarray*}$ und 0 sonst.

ich möchte nun daraus Var(X), Var(Y) und Kov(X, Y) berechnen.

zur Vorbereitung berechne ich die verschiedenen Erwartungswerte:

$\begin{eqnarray*} E[X] = \int_0^1 \int_y^1 x \cdot 10x^2y \, dy dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E[Y] = \int_0^1 \int_y^1 y \cdot 10x^2y \, dy dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E[XY] = \int_0^1 \int_y^1 xy \cdot 10x^2y \, dy dx \end{eqnarray*}$

..bin mir da unsicher mit den Integrationsgrenzen. so verschwindet mein y ja nicht.. d.h. ich müsste von x bis 1 integrieren, anstatt y bis 1.

allerdings ist die Bedingung oben $\begin{eqnarray*} 0 \leq y \leq x \leq 1 \end{eqnarray*}$ und laut Theorie aus der Vorlesung müssten die Integrationsgrenzen so gesetzt werden, wie ich es oben geschrieben hab..

..wirft mich ein wenig aus der Bahn.

vielen lieben Dank für die erneute Hilfe!

eisley

09.11.2010, 16:07

René Gruber

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Normalerweise versteht man die Integralschreibweise so "von innen nach außen" geklammert - in dem Sinne müsste man

Zitat:

Original von eisley
$\begin{eqnarray*} E[X] = \int_0^1 \int_y^1 x \cdot 10x^2y \, dy dx \end{eqnarray*}$

als

$\begin{eqnarray*} E[X] = \int_0^1 \left( \int_y^1 x \cdot 10x^2y \, dy \right) dx \end{eqnarray*}$

auffassen. So machen deine Integrationsgrenzen aber keinen Sinn, und so hast du es (hoffentlich) auch nicht gemeint. unglücklich

unglücklich

09.11.2010, 16:11

eisley

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aber $\begin{eqnarray*} E[X]= \int_0^1 \int_x^1 x \cdot 10x^2y \, dy dx \end{eqnarray*}$ , was ich eigentlich aufgeschrieben hab, wurde von meinem Assistenten verneint. deswegen steh ich da ein bisschen an...

unglücklich

unglücklich

09.11.2010, 16:15

René Gruber

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Womit er Recht hat, schließlich ist

$\begin{eqnarray*} E[X]= \int\limits_0^1 \int\limits_0^x x \cdot 10x^2y ~ \dd y ~ \dd x \end{eqnarray*}$

oder bei Vertauschung der Integrationsreihenfolge

$\begin{eqnarray*} E[X]= \int\limits_0^1 \int\limits_y^1 x \cdot 10x^2y ~ \dd x ~ \dd y \end{eqnarray*}$

richtig - jetzt haben wir ja bald alle Varianten durch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

P.S.: Eine Kontrolle ist die Überprüfung der Gesamt-Wahrscheinlichkeitsmasse: Es muss dann ja

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^1 \int\limits_0^x 10x^2y ~ \dd y ~ \dd x = 1 \end{eqnarray*}$

gelten.

09.11.2010, 16:51

eisley

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aaah - jetzt habe ich das verstanden!! mit deiner Bemerkung wegen der Integrationsvertauschung.. ausgezeichnet! haha

na..ich erspar dir jetzt meine ganzen Resultate! Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber noch einmal vielen lieben Dank!

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