Diedergruppe isomorph symmetrische Gruppe

06.11.2010, 16:08	Tobiass	Auf diesen Beitrag antworten »
Diedergruppe isomorph symmetrische Gruppe Meine Frage: Seien $\begin{eqnarray} m,n\in \mathbb N \setminus \{1,2\} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: Nur für $\begin{eqnarray} m=n=3 \end{eqnarray}$ ist die Diedergruppe $\begin{eqnarray} D_{2n} \end{eqnarray}$ isomorph zur symmetrischen Gruppe $\begin{eqnarray} S_m \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Um isomorph sein zu können, müssen beide Mengen gleich viele Elemente besitzen. Es gilt $\begin{eqnarray} \|S_m\|=m! \end{eqnarray}$ und sowei ich weiß $\begin{eqnarray} \|D_{2n}\|=2n \end{eqnarray}$ .
06.11.2010, 18:47	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
2*3=3!=6
06.11.2010, 19:02	Tobiass	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber $\begin{eqnarray} m!=2n \end{eqnarray}$ gilt doch auch z.B. für $\begin{eqnarray} m=4, n=12 \end{eqnarray}$ .
06.11.2010, 19:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichviele Element zu haben ist notwendig, aber nicht hinreichend für Isomorphie von Gruppen.
07.11.2010, 12:56	Tobiass	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat vielleich noch jemand einen Tipp oder Ansatz für mich?
07.11.2010, 13:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Soviel ich sehe besteht die Aussage aus zwei Teilen. Für m=n=3 ist $\begin{eqnarray} D_{2n}\cong S_m \end{eqnarray}$ , hier steht der Beweis noch aus. Für m=n>3 ist $\begin{eqnarray} D_{2n}\not \cong S_m \end{eqnarray}$ , da zieht das Argument mit der Gruppenordnung.
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07.11.2010, 13:08	Tobiass	Auf diesen Beitrag antworten »
m=n ist aber nicht vorausgesetzt. Also bringt das Argument mit der Gruppenordnung nicht so viel, weil es dann immer noch genug Möglichkeiten für m und n gibt, sodass $\begin{eqnarray} m!=2n \end{eqnarray}$ gilt
07.11.2010, 13:36	Tobiass	Auf diesen Beitrag antworten »
Also muss ich zeigen dass $\begin{eqnarray} m=n=3 \end{eqnarray}$ der einzige Fall für $\begin{eqnarray} m!=2n \end{eqnarray}$ ist, bei dem $\begin{eqnarray} D_{2n}\cong S_m \end{eqnarray}$ gilt.
07.11.2010, 14:22	Tobiass	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab keine Ahnung, wie ich einen Isomorphismus von $\begin{eqnarray} D_{2n} \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} S_m \end{eqnarray}$ finden kann.
07.11.2010, 14:34	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Dreieck sollte das nicht so schwer sein. Die Diedergruppe besteht aus den drei Rotationen und den Spiegelungen (Geometrie). Die symmetrische Gruppe vertauscht die Punkte (wie denn wohl ?). Heureka.
07.11.2010, 14:45	Tobiass	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wie zeige ich, dass dies nur für m=n=3 der Fall ist?
07.11.2010, 14:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
"Genauso". Die symmetrische Gruppe vertauscht zwei beliebige Punkte, das schafft die Diedergruppe nicht. Schon im Quadrat gibt es keine Drehung oder Spiegelung, die nur zwei nebeneinanderliegende Punkte vertauscht.

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