Homomorphiesatz [Bosch]

06.11.2010, 16:46

tigerbine

Homomorphiesatz [Bosch]

Hallo,

ich lese gerade die Isomorphiesätze und komme noch nicht hinter die Idee. Wo wende ich die denn mal an? Also warum könnte mich ihre Aussage interessieren? (ok, verbotene Fragestellen. Forum Kloppe

)

Homomorphiesatz Bosch bei google books

Zitat:

Wir haben also zunächst 2 Gruppen $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G' \end{eqnarray*}$ . Dazu gibt es den Gruppenhomomorphismus $\begin{eqnarray*} \varphi:~G \to G' \end{eqnarray*}$ .

1. Möchten wir weitere Eigenschaften von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ auf anderem Wege bestimmen? verwirrt

Sei N ein Normalteiler von G. Dann kann man die kanonische Abbildung/Projektion $\begin{eqnarray*} \pi: G \to G/N \end{eqnarray*}$ derart definieren, dass $\begin{eqnarray*} a \to aN \end{eqnarray*}$ gilt. Es ist $\begin{eqnarray*} G/N \end{eqnarray*}$ mit der "Elementenmultiplikation" ja eine Gruppe. Des weiteren weiß man dann von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ , dass gilt $\begin{eqnarray*} ker(\pi)=N \end{eqnarray*}$ .

Nun fordert man ja noch, dass der Normalteiler N nicht beliebig ist, sondern auch Teilmenge des Kerns von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ .

2. Was bedeutet es nun, wenn so ein Diagramm kommutiert? Dass ich beide Wege gehen kann um von G nach G' zu kommen?

Nun sagt der Satz ja (zunächst) nur, dass es einen eindeutigen Gruppenhomomorphismus $\begin{eqnarray*} \overline{\varphi}:~G/N \to G' \end{eqnarray*}$ gibt. Was hat mir das nun gebracht? Gerade auf meine Ausgangsfrage, will man etwas über $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ in Erfahrung bringen? verwirrt

3. Im Beweis steht nun wie man $\begin{eqnarray*} \overline{\varphi} \end{eqnarray*}$ wählen könnte. D.h. i.A. wählt man nicht so?

Fürs erste genug Fragen. Augenzwinkern

Danke.

06.11.2010, 18:30

Cugu

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde das zunächst so lesen: Was können wir über $\begin{eqnarray*} G/N \end{eqnarray*}$ aussagen? Nun, wenn es einen Gruppenhomomorphismus $\begin{eqnarray*} \varphi:~G \to G' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} N\subseteq \ker(\varphi) \end{eqnarray*}$ gibt, dann finden wir dazu in kanonischer Weise einen eindeutigen Gruppenhomomorphismus $\begin{eqnarray*} \bar \varphi:~G/N \to G' \end{eqnarray*}$ . Und in kanonischer Weise bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} \varphi=\bar \varphi \circ \pi \end{eqnarray*}$ gilt. Mit anderen Worten das Diagramm kommutiert.

zu 1.
Nein, über $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ sagt der Satz im Grunde nichts aus. Du kannst dir ganz einfach überlegen, was schiefgeht, wenn $\begin{eqnarray*} N\nsubseteq \ker(\phi) \end{eqnarray*}$ ist. Im Grunde steht es bei dir schon darüber.

zu 2.
Wenn man $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ wählt muss man egal welchen Weg man wählt beim demselben $\begin{eqnarray*} g'\in G' \end{eqnarray*}$ landen! Also in diesem Fall $\begin{eqnarray*} \varphi(g)=(\bar \varphi \circ \pi)(g) \end{eqnarray*}$ .

zu 3.
Für die Existenzaussage muss man nur eine mögliche Wahl angeben. Die Eindeutigkeit wurde in der Zeile darüber schon gezeigt. Eine andere Wahlmöglichkeit gibt es also nicht.

---

Gleich in Satz 8 ist doch der typische Zweck erkennbar. Statt einen Isomorphismus $\begin{eqnarray*} G/N \to G' \end{eqnarray*}$ anzugeben zu müssen, sucht man einen surjektiven Homomorphismus $\begin{eqnarray*} G \to G' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ als Kern.

06.11.2010, 19:20

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

zu 1.
Nein, über $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ sagt der Satz im Grunde nichts aus.

Danke, dad ist je schon mal eine wichtige Korrektur in meinem Fokus.

Zitat:

Und in kanonischer Weise bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} \varphi=\bar \varphi \circ \pi \end{eqnarray*}$ gilt. Mit anderen Worten das Diagramm kommutiert.

Gut, dann habe ich das mit kommutiert nun auch verstanden. Hätte den Wort "also" im Satz mehr Bedeutung geben müssen.

Zitat:

zu 3.
Für die Existenzaussage muss man nur eine mögliche Wahl angeben. Die Eindeutigkeit wurde in der Zeile darüber schon gezeigt. Eine andere Wahlmöglichkeit gibt es also nicht.

Stimmt. Wundert mich nur, dass in dem Satz der Wortlaut nicht ist. dann ist $\begin{eqnarray*} \overline \phi \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \overline \varphi(aN)=\varphi(a) \end{eqnarray*}$ der eindeutig bestimmte G-Hom, so das ... . Der Satz (ohne Beweis) ließ in mir erst mal so was wie "gibt es eindeutig, aber keiner weiß wie es aussieht" anklingen. Ups

Zitat:

Gleich in Satz 8 ist doch der typische Zweck erkennbar. Statt einen Isomorphismus $\begin{eqnarray*} G/N \to G' \end{eqnarray*}$ anzugeben zu müssen, sucht man einen surjektiven Homomorphismus $\begin{eqnarray*} G \to G' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ als Kern.

Auf der Seite bin ich noch nicht. Augenzwinkern

Das steht nun auf dem Programm.

Danke. Wink

Neue Frage »

Antworten »

Homomorphiesatz [Bosch]

Verwandte Themen