Vollständige Induktion richtig anschreiben

06.11.2010, 17:28

FlashyMo

Vollständige Induktion richtig anschreiben

Hi
mir ist ganz klar wie die vollständige Induktion geht! ich würd nur gerne wissen was ich wie anschreiben muss!

Induktionsanfang: da schau ich ja einfach ob zb n=1 eine w.A. ist

induktionsannahme: ist die anngabe. wenn ich die anschreb muss ich w.A. hinschreiben oder nicht? und was muss ich anschreben wenn es nicht stimmt? F.A?

induktionsschritt: einfach n -> n+1 also ich schau ob es für alle n gilt da kommt entweder w.A. oder f.A. raus!

also muss ich bei der induktionsannahme w.A. oda f.A. hinschrieben?
ty

06.11.2010, 18:05

klarsoweit

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RE: Vollständige Induktion richtig anschreiben
Das ist ein bißchen chaotisch. Ich würde es so machen:

Zitat:

Original von FlashyMo
Induktionsanfang: da schau ich ja einfach ob zb n=1 eine w.A. ist

Ja.

Zitat:

Original von FlashyMo
induktionsannahme: ist die anngabe. wenn ich die anschreb muss ich w.A. hinschreiben oder nicht? und was muss ich anschreben wenn es nicht stimmt? F.A?

Ich würde schreiben: es wird angenommen, daß die behauptete Aussage für ein n gilt.

Zitat:

Original von FlashyMo
induktionsschritt: einfach n -> n+1 also ich schau ob es für alle n gilt da kommt entweder w.A. oder f.A. raus!

Schreibe: es ist nun zu zeigen, daß die Aussage auch für n+1 gilt.

Die Tatsache, daß die Aussage dann auch für alle n gilt, ergibt sich automatisch aus dem Induktionsprinzip.

06.11.2010, 18:21

FlashyMo

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Das als bsp:

Angabe:

http://img641.imageshack.us/img641/9997/unbenannthxg.jpg

Lösungsweg:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k = \frac{1}{8} (2n + 1)^{2} \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang:

$\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 = \frac{1}{8} (2 + 1)^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 = \frac{3}{8} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f.A. \end{eqnarray*}$

Induktionsannahme:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k = \frac{1}{8} (2n + 1)^{2} \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} {n \to n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n+1 k = \frac{1}{8} (2 (n + 1) + 1)^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k +n + 1 = \frac{1}{8} (2n + 3)^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} (2n + 1)^{2} + n + 1 = \frac{1}{8} (2n + 3)^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4n^2 + 12n + 9 = 4n^2 + 12n + 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w.A. \end{eqnarray*}$

Da versteh ich net was ich jetzt eig bewiesen hab?! Und was ich jetzt hinschreiben soll!
Kannst ma da vll helfen?
ty

06.11.2010, 18:50

frischfisch

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Das ist kein Wunder, dass du nicht verstehst was du bewiesen hast, du hast nämlich eigentlich gar nichts bewiesen...
Im Induktionsanfang musst du zeigen, dass die Aussage die du zeigen willst für eine natürliche Zahl gilt.
d.h. du müsstest in diesem Beispiel eine Zahl n finden, für die $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k = \frac{1}{8} \left(2n+1\right) ^2 \end{eqnarray*}$ gilt.
Wenn es keine solche Zahl gibt oder du keine finden kannst du keine vollständige Induktion machen.
Du musst also im Induktionsanfang eine wahre Aussage bekommen um überhaupt weiter machen zu können.
Es gibt aber Fälle in denen das nicht möglich ist.

Im übrigen würde ich bei der Induktionsannahme nicht nochmal die Behauptung hinschreiben. Ich bin nicht ganz sicher ob es wirklich falsch ist, aber an dieser Stelle schreibt man üblicherweise "Die Behauptung sei wahr für eine natürliche Zahl n."
Oder einen ähnlichen Satz der das gleiche aussagt.
Bei der Indutkionsannahme musst du gar nicht jedesmal was anderes hin schreiben.
Das man die jedesmal aufschreibt ist eigentlich nur ein Formalismus.
Weglassen solltest du sie trotzdem nicht da die meisten Lehrer/Übungsleiter oder wer auch immer das korrigiert auf solche Formalismen Wert legen.

Dein Induktionsschritt ist soweit eigentlich richtig, ich würde ihn etwas anders aufschreiben aber ich glaube man kann es auch so machen wenn man Äquivalenzpfeile zwischen die einzelnen Zeilen macht.
Allerdings solltest du noch überlegen von wo bis wo deine Summe eigentlich läuft und über was du summierst.
Vielleicht sind das ja nur Tippfehler.
Schau es dir bitte nochmal an.

06.11.2010, 19:42

klarsoweit

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RE: Vollständige Induktion richtig anschreiben

Zitat:

Original von FlashyMo
Induktionsanfang: da schau ich ja einfach ob zb n=1 eine w.A. ist

Lies obiges und dann bringst du einen Induktionsbeweis mit falschem Induktionsanfang? Ich muß mich schon wundern. unglücklich

08.11.2010, 17:13

FlashyMo

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Zitat:

Original von frischfisch
Das ist kein Wunder, dass du nicht verstehst was du bewiesen hast, du hast nämlich eigentlich gar nichts bewiesen...
Im Induktionsanfang musst du zeigen, dass die Aussage die du zeigen willst für eine natürliche Zahl gilt.
d.h. du müsstest in diesem Beispiel eine Zahl n finden, für die $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k = \frac{1}{8} \left(2n+1\right) ^2 \end{eqnarray*}$ gilt.
Wenn es keine solche Zahl gibt oder du keine finden kannst du keine vollständige Induktion machen.
Du musst also im Induktionsanfang eine wahre Aussage bekommen um überhaupt weiter machen zu können.
Es gibt aber Fälle in denen das nicht möglich ist.

Im übrigen würde ich bei der Induktionsannahme nicht nochmal die Behauptung hinschreiben. Ich bin nicht ganz sicher ob es wirklich falsch ist, aber an dieser Stelle schreibt man üblicherweise "Die Behauptung sei wahr für eine natürliche Zahl n."
Oder einen ähnlichen Satz der das gleiche aussagt.
Bei der Indutkionsannahme musst du gar nicht jedesmal was anderes hin schreiben.
Das man die jedesmal aufschreibt ist eigentlich nur ein Formalismus.
Weglassen solltest du sie trotzdem nicht da die meisten Lehrer/Übungsleiter oder wer auch immer das korrigiert auf solche Formalismen Wert legen.

Dein Induktionsschritt ist soweit eigentlich richtig, ich würde ihn etwas anders aufschreiben aber ich glaube man kann es auch so machen wenn man Äquivalenzpfeile zwischen die einzelnen Zeilen macht.
Allerdings solltest du noch überlegen von wo bis wo deine Summe eigentlich läuft und über was du summierst.
Vielleicht sind das ja nur Tippfehler.
Schau es dir bitte nochmal an.

Joa hab die tippfehler gefunden^^
mir ist klar ,dass der induktionsanfang falsch ist. und es gibt keine zahl bei der das gültig ist. aber es seteh ja in der angabe: "Der Induktionsschritt lässt sich zeigen - tun sie dies. Stimmt die Aussage? Wenn nein, begründen sie dies!"

Also was soll ich jetzt amchen?

08.11.2010, 18:12

klarsoweit

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Toll, daß du mal mit der kompletten Aufgabe rausrückst. smile

Also, dann mach mal den Induktionsschritt.

08.11.2010, 22:01

FlashyMo

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Zitat:

Original von klarsoweit
Toll, daß du mal mit der kompletten Aufgabe rausrückst. smile

Also, dann mach mal den Induktionsschritt.

Angabe hab ich ja als bild gepostet^^
Induktionsschritt ist ja $\begin{eqnarray*} {n \to n+1} \end{eqnarray*}$

und ist das nich dass was ich aufgschrieben hab mit:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k = \frac{1}{8} (2n+1)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} {n \to n+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k + (n+1)= \frac{1}{8} (2(n+1)+1)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{8} (2n+1)^{2}+(n+1)= \frac{1}{8}(2n+3)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4n^2+4n+1+8n+8=4n^2+12+9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4n^2+12n+9=4n^2+12+9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w.A. \end{eqnarray*}$
aber es soltle doch eine f.A. rauskommen oda?

08.11.2010, 22:04

kiste

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Das ist doch gerade der Witz an der Aufgabe. Die Aufgabe soll dir zeigen dass du auf den Induktionsanfang nicht verzichten darfst, denn selbst wenn der Induktionsschritt klappt hat das noch gar nichts zu bedeuten!

08.11.2010, 23:02

FlashyMo

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Zitat:

Original von kiste
Das ist doch gerade der Witz an der Aufgabe. Die Aufgabe soll dir zeigen dass du auf den Induktionsanfang nicht verzichten darfst, denn selbst wenn der Induktionsschritt klappt hat das noch gar nichts zu bedeuten!

joa das st mir klar aba meine frage hab ich es jetzt gelöst?

09.11.2010, 09:17

klarsoweit

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Welche Frage?
Ja, du hast einen korrekten Induktionsschritt durchgeführt.
Nein, die Aussage ist nicht für alle n aus N wahr, da schon der Induktionsanfang mit n=1 eine falsche Aussage ergibt.

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