Funktionen Vektorraum Nullvektor Inverse

13.11.2006, 22:44

chris85

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Funktionen Vektorraum Nullvektor Inverse

Wir definieren die Addition zweier Funktionen $\begin{eqnarray*} f,g :[0,1]\rightarrow R \end{eqnarray*}$ durch punktweise Addition $\begin{eqnarray*} (f+g)(x) := f(x)+g(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in [0,1] \end{eqnarray*}$

und die Mltiplikation einer Funktion $\begin{eqnarray*} f: [0,1]\rightarrow R \end{eqnarray*}$ mit einer Zahl $\begin{eqnarray*} \lambda \in R \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} (\lambda * f)(X) := \lambda * f(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in [0,1] \end{eqnarray*}$ .

Zeige dass die Funktionen auf dem Intervall [0,1] mit diesen beiden Verknüpfungen einen Vektorraum über R bilden. Wiemüssen dabei der "Nullvektor" und das bezüglich der Addition Inverse einer Funktion f gewählt werden?

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen bzw, sie mit mir lösen? Ich habe bisher noch nichts mit Vektorräumen oder ähnlichem zu tun gehabt. Wäre toll wenn mir das jemand erklären könnte.

13.11.2006, 22:59

Mathespezialschüler

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Welche Axiome muss denn ein Vektorraum erfüllen? Es muss ja ein "Nullvektor" bzgl. der Addition existieren. Das muss ja hier eine Funktion $\begin{eqnarray*} h:[0,1]\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ sein mit

$\begin{eqnarray*} (f+h)(x)=f(x)+h(x)=f(x) \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} x\in [0,1] \end{eqnarray*}$ . Was kann dann $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ wohl nur sein?

Gruß MSS

13.11.2006, 23:39

chris85

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Wenn ich das nur wüsste, ich blicks gerade überhaupt nicht.kannst mir noch weiter helfen? ich hoffe ich finde dann irgendwann rein...

13.11.2006, 23:40

Mathespezialschüler

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Wenn $\begin{eqnarray*} f(x)+h(x)=f(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in [0,1] \end{eqnarray*}$ gelten soll, was ist dann $\begin{eqnarray*} h(x) \end{eqnarray*}$ ? Das ist simples Gleichungsumformen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

13.11.2006, 23:57

chris85

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Wenn $\begin{eqnarray*} f(x)+h(x)=f(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in [0,1] \end{eqnarray*}$ gelten soll, dann ist $\begin{eqnarray*} h(x) = f(x)-f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ oder?

Aber wie kommst du darauf,dass: $\begin{eqnarray*} f(x)+h(x)=f(x) \end{eqnarray*}$ ?
Es ist doch definiert für $\begin{eqnarray*} (f+g)(x):=f(x)+g(x) \end{eqnarray*}$

14.11.2006, 07:07

Sunwater

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Wenn $\begin{eqnarray*} f(x) + h(x) = f(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in [0,1] \end{eqnarray*}$ gilt, dann ist h ein besonderes Element... - du hast ja selbst gerade ausgerechnet welches... - und das brauchst du schließlich in einem Vektorraum...

genauso kannst du das Inverse "ausrechnen". Die Eigenschaft des Inversen zu einem Vektor ist ja, dass es zu dem Vektor dazu addiert das neutrale Element ergibt ( was du oben berechnet hast )...

also nimm einfach irgend eine Funktion f(x) und dann berechne das Inverse durch umstellen der Gleichung:

f(x) + i(x) = 0

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14.11.2006, 16:54

chris85

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Könnte ich auch sagen $\begin{eqnarray*} f(x)+h(x)=h(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in [0,1] \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} f(x) = h(x)-h(x) = 0 \end{eqnarray*}$ ? D.h. $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ wäre Nullvektor.

Wie kommt man darauf,dass: $\begin{eqnarray*} f(x)+h(x)=f(x) \end{eqnarray*}$ ?
Es ist doch definiert für $\begin{eqnarray*} (f+g)(x):=f(x)+g(x) \end{eqnarray*}$

Wie soll ich einfach eine Funktion f(x) nehmen?
meinst du $\begin{eqnarray*} f(x) + h(x)=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \rightarrow h(x) = -f(x) = Inverse \end{eqnarray*}$ ?oder wie meinst du das?

14.11.2006, 17:21

Sunwater

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nochmal am Beispiel vom Nullelement...

also ein Nullelement e aus einem Vektorraum ist doch dadurch ausgezeichnet, dass für alle $\begin{eqnarray*} a \in V \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} a+e = e+a = a \end{eqnarray*}$

du willst jetzt wissen wie in deinem Vektorraum das Nullelement gewählt werden muss...

also nimmst du einfach an, dass für ein Element h(x) gilt, dass f(x) + h(x) = h(x) + f(x) = f(x) gilt... und das für alle f(x) aus deinem Vektorraum.
Wenn es so ein h(x) gibt, dass das erfüllt, ist es dein Nullelement.
Und du berechnest einfach, dass h(x) = 0 ist. Also die Nullabbildung, die alles auf die Null abbildet.

du willst also dein h(x) berechnen, nimmst an es erfüllt alle bedingungen und rechnest dann aus wie es dann aussehen muss!

klar soweit?

14.11.2006, 19:41

chris85

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Ja soweit ist es mir jetzt klar. Also mein Nullvektor würde dann so aussehen: $\begin{eqnarray*} h(x) = f(x)-f(x) \end{eqnarray*}$

Und wie gehts jetzt weiter? Was muss ich als nächstes tun?

14.11.2006, 19:52

Mathespezialschüler

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Dein Nullvektor ist die Nullfunktion $\begin{eqnarray*} h(x)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in [0,1] \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ war ja oben beliebig gewählt.
Jetzt musst du, wie gesagt, zu jeder beliebigen Funktion $\begin{eqnarray*} f:[0,1]\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ eine inverse Funktion $\begin{eqnarray*} i:[0,1]\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ finden, sodass gilt:

$\begin{eqnarray*} f+i=0 \end{eqnarray*}$ .

Und die Funktion $\begin{eqnarray*} f+i \end{eqnarray*}$ ist ja definiert durch

$\begin{eqnarray*} (f+i)(x)=f(x)+i(x) \end{eqnarray*}$ .

Das soll $\begin{eqnarray*} =0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in [0,1] \end{eqnarray*}$ sein. Was ist dann $\begin{eqnarray*} i(x) \end{eqnarray*}$ ?

Gruß MSS

14.11.2006, 20:00

chris85

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Könnte es vielleicht sein dass $\begin{eqnarray*} i(x)=-f(x)+h(x) \end{eqnarray*}$ ist?

14.11.2006, 20:01

Mathespezialschüler

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Was ist dabei $\begin{eqnarray*} h(x) \end{eqnarray*}$ ?

Gruß MSS

14.11.2006, 20:37

chris85

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$\begin{eqnarray*} h(x) \end{eqnarray*}$ ist der Nullvektor, also 0! Muss der nicht mit in die Funktion eingebaut werden?

14.11.2006, 20:39

Mathespezialschüler

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Nö, wieso denn? Es ist doch $\begin{eqnarray*} f(x)+h(x)=f(x)+0=f(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in [0,1] \end{eqnarray*}$ . Also musst du das $\begin{eqnarray*} h(x) \end{eqnarray*}$ nicht noch dazuschreiben. Du kannst es auch gleich weglassen.

Gruß MSS

14.11.2006, 20:42

chris85

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Okay dann bleib er weg! Dann heißt es einfach nur $\begin{eqnarray*} i(x)=-f(x) \end{eqnarray*}$ ?

14.11.2006, 20:46

Mathespezialschüler

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Genau. Jetzt musst du noch die restlichen Vektorraumaxiome zeigen!

Gruß MSS

14.11.2006, 20:56

chris85

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Und welche Axiome wären das? Haben diese irgendwas mit der Multiplikation der Funktion zu tun? Kenn mich mit Vektorräumen noch nicht aus...

14.11.2006, 20:57

Mathespezialschüler

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Naja, was ein Vektorraum ist, habt ihr ja sicher schon definiert! Wie lautet denn diese Definition?

Gruß MSS

14.11.2006, 21:01

chris85

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Nein eben nicht. Das ist auch mein Problem. Die Vorlesung,die unter anderem den Vektorraum beinhaltet kommt erst noch! Die Arbeitsblätter sind aber schon weiter...

14.11.2006, 21:04

Mathespezialschüler

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Und du machst die Arbeitsblätter schon vorher?
Hier findest du eine Definition.

Gruß MSS

14.11.2006, 21:20

chris85

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Also ich hab mir die Definition jetzt durchgelesen.Meinst du jetzt dass man noch die Assoziativ-und Distributivgesetze beweisen muss?

14.11.2006, 22:01

Mathespezialschüler

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Ja, du musst noch

$\begin{eqnarray*} \alpha\cdot (\beta\cdot f)=(\alpha\cdot\beta)\cdot f \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha\cdot (f+g)=\alpha\cdot f+\alpha\cdot g \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\alpha+\beta)\cdot f=\alpha\cdot f+\beta\cdot f \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1\cdot f=f \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f,g\in V \end{eqnarray*}$ zeigen, wobei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ die Menge aller Funktionen aus $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist. Aber außerdem muss $\begin{eqnarray*} (V,+) \end{eqnarray*}$ noch eine abelsche Gruppe sein. Die Existenz des neutralen und der inversen Elemente hast du ja schon gezeigt. Du musst also noch zeigen, dass für alle $\begin{eqnarray*} f,g,u\in V \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} f+g\in V \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (f+g)+u=f+(g+u) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f+g=g+f \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

14.11.2006, 22:39

chris85

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f wäre hier mein f(x) , g mein h(x) und u mein i(x) richtig?

dann kann ich diese einfach noch in diesen Rahmen einsetzen und fertig oder?

14.11.2006, 22:43

Mathespezialschüler

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Nein, $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ sind vollkommen beliebig! Du musst das für alle Funktionen zeigen!

Gruß MSS

14.11.2006, 22:54

chris85

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Achso okay, dann hast du das ja für mich schon bewiesen.
Was hat es dann noch mit $\begin{eqnarray*} (\lambda * f) (x) := \lambda*f(x) \end{eqnarray*}$ auf sich?

14.11.2006, 23:08

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von chris85
Achso okay, dann hast du das ja für mich schon bewiesen.

Nein, habe ich nicht. Warum nimmst du das an?

Gruß MSS

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