Dreieckskonstruktion: b=7cm, beta=45°, Inkreis rho=2cm

06.11.2010, 22:50

mariofichte

Dreieckskonstruktion: b=7cm, beta=45°, Inkreis rho=2cm

Hallo zusammen!

Es soll ein Dreieck konstruiert werden mit:
Seite b=7cm, Winkel beta=45°, Innkreis rho=2cm.

Ich habe lange hier in Forum gesucht und konnte kein Beitrag finden. Falls diese Aufgabe gelöst ist, dann bitte ich um entspechendes Link. Danke.

Meine Vorgehensweise:
1. Konstruiere Seite b=|AC|=7cm.
Der Winkel Beta liegt gegenüber der Seite b und ist 45°.
Man muss also einen geometrischen Ort konstruieren von dem die Seite b unter 45° zu sehen ist.
2. Somit konstruiere ich Fasskreisbogen über die Seite b, sodass Zentriwinkel 90° ist und Peripheriewinkel 45°. Damit ist mein Winkel beta ein Winkel auf diesem Fasskreisbogen.

Nun kommt Innkreisradius rho =2cm ins Spiel.
3. Der Innkreismittelpunkt muss auf der Parallele zu Seite b liegen mit Abstand von 2cm.

Von hier weiss ich nicht weiter!
Geometrischer Ort, wo Mittelpunkt des Innkreises liegt haben wir also und den geometrieschen Ort, wo Winkel beta liegt ebenso.

Ich habe versucht einfach irgendein Punkt auf dem Fasskreisbogen zu nehmen aber das führt nicht zum Ergebnis!

Danke für Ratschläge
Mario

06.11.2010, 23:02

René Gruber

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Schon mal alles sehr gut und richtig, hier noch der fehlende Baustein:

Der Inkreismittelpunkt $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ist bekanntlich der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden der Innenwinkel des Dreiecks $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ . Bzgl. der dir bereits vorliegenden Seite $\begin{eqnarray*} AC \end{eqnarray*}$ (d.h. der mit Länge $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ) liegt $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ damit auf einem anderen Fasskreis, nämlich dem zum Winkel $\begin{eqnarray*} 180^{\circ}-\frac{\alpha}{2}-\frac{\gamma}{2} = 90^{\circ}+\frac{\beta}{2} = 112.5^{\circ} \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Übrigens musst du den Mittelpunkt dieses zweiten Fasskreises gar nicht extra konstruieren: Er fällt so ganz nebenbei als "Südpol" (bzgl. AC) bei deiner ersten Fasskreiskonstruktion (die für $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ ) mit ab. Augenzwinkern

07.11.2010, 21:24

mariofichte

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Hallo René,

danke für deine Hilfe. Manches ist mir klar manches nicht. Ich hoffe auf ein bisschen Erleuchtung.
Mir ist klar, dass der Winkel $\begin{eqnarray*} \mu = 180°-\frac{\alpha}{2}-\frac{\gamma}{2} \end{eqnarray*}$ . Aber warum ist das jetzt gleich $\begin{eqnarray*} 90°+\frac{\beta}{2} \end{eqnarray*}$ ? Ich sehe kein Zusammenhang.

Der Punkt I ist der Mittelpunkt des Innkreises.

Der Winkel QIB also $\begin{eqnarray*} \delta = 67,5° \end{eqnarray*}$ ist bekannt, weil $\begin{eqnarray*} \frac{\beta}{2} = 22,5° \end{eqnarray*}$ ist. Aber wie schaffe ich den "Sprung" zum Winkel $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ (siehe Bild)?

Ich möchte diese Sache gut erlernen, deshalb frage ich nochmals:

Warum liegt der Mittelpunkt dieses Fasskreisbogens in F (du sagst dazu "Südpol bzgl. AC")?

Falls es dir möglich ist sich auf die Sätze zu berufen, dann wäre dass für mich sehr hilfreich. In Theorie bin ich gut aber in Praxis (Konstruktion) nicht.

Ein Bild habe ich hinzugefügt: Nach deiner Anweisung klappt auch die Konstruktion. Allein die mathematische Begründung fehlt mir.

Danke René und grüße
Mario

07.11.2010, 21:37

René Gruber

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Zu viele Fragen auf einmal - erstmal beantworte ich zwei davon, vielleicht erledigen sich dann einige andere auch schon:

Zitat:

Original von mariofichte
Mir ist klar, dass der Winkel $\begin{eqnarray*} \mu = 180°-\frac{\alpha}{2}-\frac{\gamma}{2} \end{eqnarray*}$ . Aber warum ist das jetzt gleich $\begin{eqnarray*} 90°+\frac{\beta}{2} \end{eqnarray*}$ ?

Auch nicht wenn du an die Innenwinkelsumme

$\begin{eqnarray*} \alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ} \end{eqnarray*}$

im Dreieck denkst? Dividiert durch 2 ergibt das

$\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} + \frac{\gamma}{2} = 90^{\circ} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Zitat:

Original von mariofichte
Warum liegt der Mittelpunkt dieses Fasskreisbogens in F (du sagst dazu "Südpol bzgl. AC")?

Im Sehnenviereck $\begin{eqnarray*} AFCB \end{eqnarray*}$ ist die Summe gegenüberliegender Innenwinkel immer gleich $\begin{eqnarray*} 180^{\circ} \end{eqnarray*}$ . Also ist

$\begin{eqnarray*} |\angle CFA| = 180^{\circ} - |\angle ABC| = 180^{\circ} - \beta \end{eqnarray*}$ .

Für den zugehörigen "äußeren" Winkel am Sehnenviereck (nicht "Außenwinkel", der Begriff ist anders besetzt) $\begin{eqnarray*} \angle AFC \end{eqnarray*}$ gilt nun

$\begin{eqnarray*} |\angle AFC| = 360^{\circ}-|\angle CFA| = 180^{\circ} + \beta = 2\cdot \left( 90^{\circ} + \frac{\beta}{2} \right) \end{eqnarray*}$ ,

das ist genau der Wínkel, den wir am Fasskreismittelpunkt für den Fasskreis des Winkels $\begin{eqnarray*} 90^{\circ} + \frac{\beta}{2} \end{eqnarray*}$ benötigen. Da $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ja außerdem auch auf der Mittelsenkrechte von $\begin{eqnarray*} AC \end{eqnarray*}$ liegt, ist es dann zwangsläufig dieser gesuchte Fasskreismittelpunkt.

Ein Wort noch zur abschließenden Konstruktion von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ : Die sieht bei dir ein wenig kompliziert aus - an sich reicht es, den von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ verschiedenen Schnittpunkt zwischen der Geraden $\begin{eqnarray*} FI \end{eqnarray*}$ und dem Umkreis von $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ zu nehmen (Folgerung aus dem Südpolsatz).

07.11.2010, 22:01

mariofichte

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Hallo René,

danke dir sehr. Du hast Licht in die Sache gebracht.

Viele Grüße
Mario

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