Beweise über Surjektivität, Injektivität etc

07.11.2010, 00:13

mrburns

Beweise über Surjektivität, Injektivität etc

Hi, ich hoffe der ein oder andere ist um die Zeit noch im Forum aktiv und kann mir helfen.

Es geht uum Beweise.
Seien X Y Z Mengen und f: X -> Y sowie g: Y -> Z Abbildungen.
Beweise die Aussagen:

1) f ist surj. und g ist surj --> g o f surjektiv.
2) f ist inj. ung g ist inj --> g o f ist injektiv.
3) g o f ist surjektiv --> g ist surjekiv.
4) g o f ist injektiv --> f ist injektiv
5) g o f = Idx und f o g = Idy --> f und g sind bikektiv.

Im Folgendem möchte ich das jemand meine Beweise kommentiert ob sie richtig oder falsch sind oder ob sogar der Gedankengang falsch ist und dergeleichen.
( Wobei ich bei 5) noch nicht weiß was man da machen soll.

Beweis 1) Zu zeigen ist: g o f ist surj. , d.h. für alle z aus Z existiert ein x aus X mit g(f(x))= z. Da nach Voraussetzung g surj ist, d.h für alle z aus Z existiert ein y aus Y mit g(y)=z und auch nach Voraussetzung f surjektiv ist, d.h für alle y aus Y existiert ein x aus X mit f(x)=y,...... folgt daraus, dass mit y=f(x) eingesetzt in g ---> g(y)= g(f(x))=z ist, was zu zeigen war.

Beweis 2) Zu zeigen ist: g o f ist injektiv, d.h für alle x1, x2 aus X gilt: g(f(x1))=g(f(x2))---> x1=x2.
Sei g(f(x1)=g(f(x2)). Da g injektiv ist, folgt f(x1)=f(x2). Weiterhin ist f injektiv und es folgt, dass x1=x2, qed.

Beweis 3) Zu zeigen ist : g ist surj, d.h für alle z aus Z existiert ein y aus Y mit g(y)=z.
Nach voraussetzung ist g o f surjektiv, d.h für alle z aus Z existiert ein x aus X mit g(f(x))= z.
Wie ich das allerdings nutzen kann weis ich nicht?? verwirrt

. Welche Schlussfolgerung ist hier also möglich, die ich nicht erkenne?

Beweis 4) ZU zeigen f ist injektiv, d.h f(x1)=f(x2)--> x1=x2 .
Nach Voraussetzung ist g(f(x) inj, d.h aus g(f(x1))=g(f(x2)) folgt dass x1=x ist.
Und abermals wie in 3 weis ich leider nicht wie es mich weite bringt, aber mine Vermutung: Da g(f(x1))=g(f(x2)) injektiv folgt x1=x2, wobei ich keine Ahnung hätte warum man das hier einfach so sagen dürfte.

Beweis 5)Hier denke ich mal, man soll zeigen dass g und f sind injektiv und surjektiv sind. gilt die injektivität und Surjektivität nicjt automatisch wenn man sich die Voraussetzung anschaut.?? verwirrt

07.11.2010, 00:25

mrburns

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Außerdem soll ich mir Abbildungen ausdenken sodass alles geleichzeitig gilt:
f ist nicht surjektiv.
g ist nicht injektiv und
g o f ist bijektiv.

Wie bitte sehr kann das denn überhaupt möglich sein.
MfG

07.11.2010, 00:33

Mulder

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RE: Beweise über Surjektivität, Injektivität etc
1 und 2 sind in Ordnung.

Zitat:

Original von mrburns
Beweis 3) Zu zeigen ist : g ist surj, d.h für alle z aus Z existiert ein y aus Y mit g(y)=z.
Nach voraussetzung ist g o f surjektiv, d.h für alle z aus Z existiert ein x aus X mit g(f(x))= z.
Wie ich das allerdings nutzen kann weis ich nicht?? verwirrt

. Welche Schlussfolgerung ist hier also möglich, die ich nicht erkenne?

Damit g surjektiv ist, muss es ja zu jedem z aus Z ein Urbild in Y geben. Es steht eigentlich schon fast da. In welcher Menge liegt f(x) denn?

Bei der 4 würde ich einen kleinen Widerspruchsbeweis vorschlagen. Nimm an, dass g o f injektiv ist, aber f nicht. Das führt man leicht zu einem Widerspruch.

Zitat:

Original von mrburns
Beweis 5)Hier denke ich mal, man soll zeigen dass g und f sind injektiv und surjektiv sind. gilt die injektivität und Surjektivität nicjt automatisch wenn man sich die Voraussetzung anschaut.?? verwirrt

Die beiden Identitäten sind ja auch beide bijektiv. Da kann man jetzt Schritt für Schritt die Eigenschaften für f und g folgern, ja. Die vorherigen Aufgaben helfen dabei.

07.11.2010, 00:55

Mulder

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Zitat:

Original von mrburns
f ist nicht surjektiv.
g ist nicht injektiv und
g o f ist bijektiv.

Wie bitte sehr kann das denn überhaupt möglich sein.

Kann man sich leicht basteln. Spiel da ein bisschen mit Definitions- und Wertebereich rum. Indem du Wurzel x und x² hintereinander ausführst, kannst du eine Identität auf R_+ erzeugen und die Wurzelfunktion und die quadratische Funktion jeweils so basteln, dass sie die erforderlichen Bedingungen erfüllen, bzw. eben gerade nicht erfüllen.

Oder du nimmst ganz einfache Mengen, die nur 2 oder 3 Elemente enthalten und definierst die Abbildungen stückweise.

07.11.2010, 00:58

mrburns

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Zitat:

In welcher Menge liegt f(x) denn?

Meinst du damit dass ich einfach sagen kann: f(x) ist element von Y und somit folgt in g(y)=z (mit y= f(x)) eingesetzt, g(f(x))=z und da dies die Vorraussetzung ist ist g auch surjektiv. ist das ausreichend????

zu4) leider weis ich nicht genau wie du das meinst, soll ich davon ausgehen dass f dann surjektiv ist?

07.11.2010, 01:05

Mulder

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Zitat:

Original von mrburns
Meinst du damit dass ich einfach sagen kann: f(x) ist element von Y und somit folgt in g(y)=z (mit y= f(x)) eingesetzt, g(f(x))=z und da dies die Vorraussetzung ist ist g auch surjektiv. ist das ausreichend????

Ja. Du weißt, dass (g o f) surjektiv ist. Also gibt es für z aus Z ein x aus X mit g(f(x))=z. Nun liegt aber, da f von X nach Y abbildet, f(x) ganz sicher in Y. Für z gibt es also in Y ein Urbild, nämlich gerade f(x).

Zitat:

Original von mrburns
zu4) leider weis ich nicht genau wie du das meinst,

Okay, wir wissen, $\begin{eqnarray*} ( g \circ f) \end{eqnarray*}$ ist injektiv. Heißt: $\begin{eqnarray*} g(f(x_1))=g(f(x_2)) \Rightarrow x_1=x_2 \end{eqnarray*}$

Nun nehmen wir mal an, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wäre nicht injektiv. Das heißt, es gibt $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} x_1 \neq x_2 \end{eqnarray*}$ . Jetzt versuch mal, da einen Widerspruch zur Voraussetzung zu finden. Ist nicht schwer.

07.11.2010, 01:17

mrburns

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Der Widerspruch ist schon in der Annahme gegeben, oder nicht?
Wenn die Voraussetzung fordert dass x1=x2 sein soll und unsere Annahme ist x1 ungleich x2, so ist die Annahme doch direkt falsch?

07.11.2010, 01:25

Mulder

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Zitat:

Original von mrburns
Der Widerspruch ist schon in der Annahme gegeben, oder nicht?
Wenn die Voraussetzung fordert dass x1=x2 sein soll und unsere Annahme ist x1 ungleich x2, so ist die Annahme doch direkt falsch?

Das ist jetzt Käse. Ein bisschen überlegen. Du musst das eine vom anderen trennen.

$\begin{eqnarray*} g(f(x_1))=g(f(x_2)) \Rightarrow x_1=x_2 \end{eqnarray*}$

soll für alle beliebigen $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \in X \end{eqnarray*}$ gelten. Das ist die Voraussetzung. Die Injektivität der Komposition. Wenn dich das irritiert, nehmen wir im folgenden halt andere Bezeichnungen:

Seien nun $\begin{eqnarray*} x,x' \in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=f(x') \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} x \neq x' \end{eqnarray*}$ . Das ist jetzt keine Voraussetzung, das ist unsere Annahme. Wir nehmen uns jetzt zwei feste Elemente aus X.

Jetzt nochmal von neuem nachdenken.

07.11.2010, 01:55

mrburns

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Hmm also entweder bin ich völlig blind oder ich denke an der stelle komplizierter als es sein müsste. wenn x1 ungleich x2, dann hat ein y aus Y mit f(x1)=f(x2)=y halt 2 Urbilder. Die Frage ist ob g(f(x)) dann auch zwei Urbilder hat. Ich sage ja dann ist g(f(x))
nicht injektiv. Die Voraussetzung ist aber eindeutig, so muss f dann also auch injektiv sein. Ist das worauf du hinaus wolltest?

Wie auch immer ich melde mich dann morgen noch mal Wink

07.11.2010, 02:02

Mulder

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Das wird wohl nichts werden, ich weiß nicht, wo genau du dich da verhedderst. Aus deinem letzten Beitrag werde ich nicht schlau.

Sei $\begin{eqnarray*} (g \circ f) \end{eqnarray*}$ injektiv. Zu zeigen: Dann ist auch $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv.

Annahme: $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist nicht injektiv. Dann gibt es $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} x_1 \neq x_2 \end{eqnarray*}$ .

Aus $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$ folgt sicher auch $\begin{eqnarray*} g(f(x_1)=g(f(x_2) \end{eqnarray*}$ . Und daraus folgt, da $\begin{eqnarray*} (g \circ f) \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung injektiv ist, $\begin{eqnarray*} x_1 =x_2 \end{eqnarray*}$ .

Widerspruch, da wir ja $\begin{eqnarray*} x_1 \neq x_2 \end{eqnarray*}$ angenommen hatten. Also muss $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv sein.

07.11.2010, 10:50

mrburns

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Nun jaaaa.... ich bin halt noch nicht soweit mit den Dingen die man folgern kann und den Dingen die man nicht folgern kann.
Es ist so dass ich bei manchen Sachen noch Verständnisprobleme habe, wi zb bei 5).
Wenn g o f =Idx ... warum ist das denn überhaupt Idx, wenn f X->Y und g Y->Z abbildet. Es müsste doch Idz heißen, oder gelten die oben genannten Abbildungen nicht mehr und g bildet jetzt Y->X

07.11.2010, 13:46

Mulder

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RE: Beweise über Surjektivität, Injektivität etc

Zitat:

Original von mrburns
oder gelten die oben genannten Abbildungen nicht mehr und g bildet jetzt Y->X

So würde ich es auffassen, ja. Sonst würde man ja keine Identität auf X erzeugen können.

08.11.2010, 20:14

mrburns

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jetzt nochmal zu 5)

Kann ich sagen: da Idx=g o f = g(f(x)) gilt: für alle x aus X existiert ein y aus Y mit g(y)=x --> g ist surjektiv und mit y=f(x) -> x=g(f(x1))=g(f(x2)-> x1=x2 --> f ist injektiv. (wobei hier der beweis aus 4) benutzt habe um inj zu zeigen)

und analog dann das selbe bei f o g nur umgekehrt??

09.11.2010, 04:02

Mulder

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RE: Beweise über Surjektivität, Injektivität etc
Ja. Wie gesagt, das ist eigentlich eine Zusammenfassung der vorherigen Aufgaben.

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