Konvergenz von Reihen

07.11.2010, 13:11

TU111111

Konvergenz von Reihen

Meine Frage:
(sqrt3(n^2+1))/(sqrt6(n^5+n+1))

Konvergiert oder divergiert diese REIHE

Meine Ideen:
Kann keine Funktion abschätzen durch Minor/Majorantenkriterium.Wurzel und Quotientenkriterium werden mir auch nicht weiterhelfen. was nun ?

07.11.2010, 13:18

René Gruber

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Zitat:

Original von TU111111
Kann keine Funktion abschätzen durch Minor/Majorantenkriterium.

Da hast du dich nicht genügend angestrengt. Eine Abschätzung mit Vergleichsreihen vom Typ

$\begin{eqnarray*} C\cdot \sum_{n=n_0}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}} \end{eqnarray*}$

(konvergent für reelle $\begin{eqnarray*} \alpha>1 \end{eqnarray*}$ , divergent für $\begin{eqnarray*} \alpha\leq 1 \end{eqnarray*}$ ) ist hier sehr gut möglich.

Zitat:

Original von TU111111
Wurzel und Quotientenkriterium werden mir auch nicht weiterhelfen.

Stimmt.

07.11.2010, 15:24

TU11111

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wie komm ich denn auf die form 1/n^a ??

muss ich mit sqrt3(n^2-1) erweitern?

07.11.2010, 15:28

René Gruber

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Derselbe Tipp wie bei gebrochen rationalen Funktionen - die Wurzeln ändern da nichts:

Ziehe die höchste Potenz von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aus Zähler und auch aus Nenner jeweils als Faktor heraus!

07.11.2010, 16:10

TU11111

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Das herausheben würde doch nur die Konvergenz der Folge zeigen, nicht aber die der Reihe?

07.11.2010, 16:17

René Gruber

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Da liegst du falsch mit deiner vorschnellen Kapitulation:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[3]{n^2+1}}{\sqrt[6]{n^5+n+1}} = \frac{\sqrt[3]{n^2}}{\sqrt[6]{n^5}} \cdot \frac{\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^2}}}{\sqrt[6]{1+\frac{1}{n^4}+\frac{1}{n^5}}} = n^{\frac{2}{3}-\frac{5}{6}} \cdot \frac{\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^2}}}{\sqrt[6]{1+\frac{1}{n^4}+\frac{1}{n^5}}} = \frac{1}{n^{\frac{1}{6}}} \cdot \underbrace{\frac{\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^2}}}{\sqrt[6]{1+\frac{1}{n^4}+\frac{1}{n^5}}}}_{\to 1\;\textrm{für}\;n\to\infty} \end{eqnarray*}$

Also gilt für genügend große $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ z.B. die Abschätzung

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[3]{n^2+1}}{\sqrt[6]{n^5+n+1}} \geq \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n^{\frac{1}{6}}} \end{eqnarray*}$ ,

womit das Minorantenkriterium anwendbar ist. Wie groß dieses $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ genau ist, ist vollkommen unerheblich - wichtig ist nur, dass es das gibt.

07.11.2010, 16:30

TU11111

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ah ok und weil 1/6 kleiner 1 ist, folgt divergenz, und damit auch die divergenz der größeren reihe.

gehe ich bei dem typ von aufgabe immer so vor?

07.11.2010, 16:31

René Gruber

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Ich hab es eigentlich so aufgeschrieben, dass dir die Verallgemeinerbarkeit auf eine große Klasse von Summandentypen bewusst sein sollte. Augenzwinkern

07.11.2010, 17:19

TU11111

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was ich aber noch nicht ganz verstehen will, wieso ich bei dem zweiten term den grenzwert bilde und bei dem ersten nicht??bzw wieso ich überhaupt den grenzwert von dem zweiten bilden kann? aus welchem grund darf ich das?als abschätzung empfinde ich das nicht als korrekt den grenzwert zu bilden...

07.11.2010, 17:51

René Gruber

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Zitat:

Original von TU11111
bzw wieso ich überhaupt den grenzwert von dem zweiten bilden kann?

Man "darf" den Grenzwert berechnen, wenn der Grenzwert existiert - was spricht dagegen? Und aus der Existenz des Grenzwertes leite ich dann eine Abschätzung für große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ her, die ja laut $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Definition des Grenzwertes existieren muss.

Mal alles (!) lesen ein bisschen mitdenken, statt solche falsche Deutungen wie

Zitat:

Original von TU11111
als abschätzung empfinde ich das nicht als korrekt den grenzwert zu bilden...

zu machen. Forum Kloppe

Also nochmal im einzelnen:

Aus $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to \infty} \frac{\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^2}}}{\sqrt[6]{1+\frac{1}{n^4}+\frac{1}{n^5}}} = 1 \end{eqnarray*}$ folgt, dass es für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0 = n_0(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} 1-\varepsilon < \frac{\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^2}}}{\sqrt[6]{1+\frac{1}{n^4}+\frac{1}{n^5}}} < 1+\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$

gibt, also NICHT erst nur im Grenzwert. Und genau diese Abschätzung (genauer gesagt: nur die linke) nutze ich für den speziellen Wert $\begin{eqnarray*} \varepsilon = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , das war's.

07.11.2010, 18:02

TU11111

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ich verstehe halt nur noch nicht ganz wieso ich das eine abschätze und den ersten term nicht, klar weil ich ja eine vergleichsreihe haben möchte, aber wär diese reihe nicht so ersichtlich ...?

und gleich die nächste frage :
Wie verhält sich diese Reihe?
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^\infty \frac{k-\sqrt{k} }{k^2-k} \end{eqnarray*}$

ich würde sie abschätzen mit kleiner als 2/(k^2) und damit als absolut konvergent feststellen, ist das richtig?Denn ich habe in einem Forum gelesen das diese Reihe divergent sei :/

07.11.2010, 18:06

TU11111

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ok die erste aufgabe habe ich jezat verstanden smile

07.11.2010, 18:08

René Gruber

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Wenn $\begin{eqnarray*} a_n,b_n \end{eqnarray*}$ zwei Folgen positiver Zahlen sind, und man eine Abschätzung $\begin{eqnarray*} b_n\geq c \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ hat, dann gilt doch auch

$\begin{eqnarray*} a_nb_n \geq a_nc \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ ,

oder etwa nicht? Soll ich das jetzt noch weiter zerlegen?

07.11.2010, 18:16

TU11111

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Also ist meine Abschätzung falsch? und was ist c ? an die obere und bn die untere folge?

07.11.2010, 18:20

René Gruber

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Stellst du eigentlich immer nur mit jeder klärenden Antwort mehrere neue Fragen, statt über das geschriebene mal selbst nachzudenken. Diese exponentielle Steigerung der Fragenzahl macht mir jetzt einfach nur Angst. unglücklich

Ok, allerletzte Antwort zu dieser Reihe: Ich meinte selbstverständlich

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{n^{\frac{1}{6}}},\quad b_n = \frac{\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^2}}}{\sqrt[6]{1+\frac{1}{n^4}+\frac{1}{n^5}}},\quad c=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

07.11.2010, 18:26

TU11111

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ich versuche nur nachzuvollziehen :X und dabei ergeben sich bis jez immer neue schwierigkeiten...wär trotzdem super wenn du mir noch bisschen helfen könntest....

07.11.2010, 18:29

TU11111

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ou man des an bn und c hat sich noch auf die erste aufgabe bezogen xD ja die hab ich verstanden und das mit dem c auch. bin jez scho bei der zweiten aufgabe.... habe ich vorher gepostet im gleichen thread

07.11.2010, 18:31

René Gruber

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Zitat:

Original von TU11111
ich würde sie abschätzen mit kleiner als 2/(k^2)

Begründung dafür?

Zur ersten Aufgabe noch:

Zitat:

Original von TU11111
ou man des an bn und c hat sich noch auf die erste aufgabe bezogen

Du hattest noch eine Frage gestellt

Zitat:

Original von TU11111
ich verstehe halt nur noch nicht ganz wieso ich das eine abschätze und den ersten term nicht

und ich habe darauf geantwortet. Wenn du das nicht auseinanderhalten kannst, dann stelle nicht Anfragen zu mehreren Aufgaben im selben Thread - ja im selben Post. unglücklich

07.11.2010, 18:37

TU11111

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nunja habe den term als kleiner als n^2 / 3n^4 abgeschätzt und des ja noch kleiner als 1 / n^2

07.11.2010, 18:46

René Gruber

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Wir reden noch über Reihenglied $\begin{eqnarray*} \frac{k-\sqrt{k} }{k^2-k} \end{eqnarray*}$ , oder bist du schon wieder bei einer anderen Reihe? Erstaunt1

07.11.2010, 18:56

TU11111

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ou sorry da bin ich in der zeile verrutscht....puh bin schon richtig ko ...:/

habe die reihe kleiner als 2 / k^2 abgeschätzt, was (1/k^1)*q entspricht => abs kovergent

Die Reihe (n^2+n+5) / ( 3n^4 -4n+3) hatte ich mit kleiner als n^2/3n^4 abgeschätzt, was kleiner als 1 / n^2 ist.=> abs. konv.

Liege ich in beiden Fällen richtig?

07.11.2010, 18:58

René Gruber

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Im ersten Fall liegst du völlig daneben - über den zweiten rede ich noch nicht (wegen oben).

Überhaupt: Beide Aufgaben sind vom selben Grundtyp wie die erste Aufgabe oben. Wenn dort also etwas mitbekommen hast, dann kannst du Nr.2 und 3 selbständig bewältigen.

07.11.2010, 19:09

TU11111

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soll ich also wieder erstmal rausheben?

07.11.2010, 19:43

TU11111

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die reihe 1/k ist divergent, sry :X ansonsten stimmt die abschätzung aber oder?

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