Übung zu Vollständigen Induktion - Frage

07.11.2010, 14:00

Azurech

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Übung zu Vollständigen Induktion - Frage

Hallo.
ich soll zeigen, dass für n >= 1 gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (1-\frac{1}{k+1}) = \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

(Es ist aber eigentlich dieses Produktzeichen, was so ausschaut wie ein großes Pi. Sollte ja aber eigentlich nichts zur Aufgabe beitragen)

___________________

IA: n=1

$\begin{eqnarray*} 1/1 - 1/2 = 1/2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2/2 - 1/2 = 1/2 \end{eqnarray*}$ stimmt

IS: n -> n+1

Zu Zeigen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} (1-\frac{1}{k+1}) = \frac{1}{n+1} + (n+1) \end{eqnarray*}$

Nachrechnen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} + (n+1) \end{eqnarray*}$ | *(n+1)

$\begin{eqnarray*} n+1 + (n+1)(n+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n+1 + n²+2n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n²+3n+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n+2)(n+1) \end{eqnarray*}$ | geteilt durch (n+2)

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{n+2} = \frac{n+1}{(n+1)+1} = \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$ ???

So richtig?
Ich weiß ja nicht^^

07.11.2010, 14:11

klarsoweit

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RE: Übung zu Vollständigen Induktion - Frage

Zitat:

Original von Azurech
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (1-\frac{1}{k+1}) = \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

(Es ist aber eigentlich dieses Produktzeichen, was so ausschaut wie ein großes Pi. Sollte ja aber eigentlich nichts zur Aufgabe beitragen)

Das trägt sehr viel zur Aufgabe bei, wie du gleich beim Induktionsschritt sehen wirst.

Also so sieht das aus: $\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=1}^n (1-\frac{1}{k+1}) = \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Azurech
Zu Zeigen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} (1-\frac{1}{k+1}) = \frac{1}{n+1} + (n+1) \end{eqnarray*}$

Korrigeren wir erstmal das Summenzeichen:

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=1}^{n+1} (1-\frac{1}{k+1}) = \frac{1}{n+1} + (n+1) \end{eqnarray*}$

Nur, wie kommst du zu dem (n+1) auf der rechten Seite? verwirrt

verwirrt

07.11.2010, 14:17

Azurech

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Ah, so macht man das, das findet sich nicht im Formeleditor

Das (n+1) steht da, weil:

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=1}^{n+1} (1-\frac{1}{k+1}) = \prod\limits_{k=1}^n (1-\frac{1}{k+1}) + (n+1) \end{eqnarray*}$

Das soll ich doch beweisen?

Edit:
Ach, ich hab mich verschrieben.

Zu Zeigen:

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=1}^{n+1} (1-\frac{1}{k+1}) = \frac{1}{(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

Das andere war schon der Anfang der Rechnung.

07.11.2010, 14:30

klarsoweit

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Zitat:

Original von Azurech
Zu Zeigen:

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=1}^{n+1} (1-\frac{1}{k+1}) = \frac{1}{(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

Das ist jetzt richtig.

Zitat:

Original von Azurech
Das andere war schon der Anfang der Rechnung.

Der immer noch falsch ist, denn es handelt sich (a) um ein Produkt, nicht um eine Summe, und (b) der letzte Faktor ist nicht (n+1).

07.11.2010, 14:38

Azurech

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Wir haben leider nocht nicht mit diesem Summenzeichen gerechnet und das + (n+1) am Ende, hab ich einer Beispielaufgabe entnommen, aber da war noch das andere Summenzeichen verwendet worden.

Wie muss denn das aussehen?

07.11.2010, 14:42

klarsoweit

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Erstens handelt es sich nicht um ein Summenzeichen, sondern um ein Produktzeichen, das heißt, die einzelnen Terme werden nicht addiert, sondern multipliziert. Schreibe zum Test mal auf, was $\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^3~k \end{eqnarray*}$ ist.

Und zweitens: nur weil in einer Beispielaufgabe so gerechnet wurde, brauchst du nicht glauben, daß das bei allen Aufgaben so ist.

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07.11.2010, 14:49

Azurech

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$\begin{eqnarray*} 1^1*1^2*1^3 \end{eqnarray*}$ = 1

07.11.2010, 15:04

klarsoweit

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Nein. Die Anweisung lautet: Setze in k nacheinander die Zahlen von 1 bis 3 ein und schreibe zwischen die Ergebnisse ein "Mal"-Zeichen.

07.11.2010, 15:15

Azurech

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1 * 2 * 3 = 6

07.11.2010, 15:30

klarsoweit

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OK. Jetzt können wir wieder zu

Zitat:

Original von Azurech
Zu Zeigen:

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=1}^{n+1} (1-\frac{1}{k+1}) = \frac{1}{(n+1)+1} \end{eqnarray*}$

zurückkehren. Wie sieht nun der letzte Faktor in dem Produkt auf der linken Seite aus?

07.11.2010, 15:42

Azurech

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Irgendwie hab ich grad ein Brett vorm Kopf (was keine Seltenheit ist traurig

traurig

)

$\begin{eqnarray*} (1- \frac{1}{k+1}) * (n + 1) \end{eqnarray*}$

?

07.11.2010, 15:59

klarsoweit

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Das ist doch fast wie Kuchen backen:

Man nehme den Term, der die Faktoren beschreibt. Das ist $\begin{eqnarray*} (1- \frac{1}{k+1}) \end{eqnarray*}$ .

Da setzt man für k den letzten Index des Produkts ein. Den letzten Index findet man über dem großen PI.

07.11.2010, 16:16

Azurech

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Also

$\begin{eqnarray*} (1 - \frac{1}{(n+1)+1}) \end{eqnarray*}$

07.11.2010, 16:18

klarsoweit

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Genau. Jetzt kannst du $\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=1}^{n+1} (1-\frac{1}{k+1}) \end{eqnarray*}$ umformen.

07.11.2010, 16:30

Azurech

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$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=1}^{n+1} (1-\frac{1}{k+1}) = \prod\limits_{k=1}^n (1-\frac{1}{k+1}) * (1 - \frac{1}{(n+1)+1}) \end{eqnarray*}$

So?

07.11.2010, 16:52

klarsoweit

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Sehr gut!

Freude

Jetzt kannst du schon die Induktionsvoraussetzung anwenden.
Und in dem Term mit dem rausgezogenen Faktor bringst du mal alles auf einen Bruchstrich.

07.11.2010, 17:05

Azurech

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Ein Moment noch. Da steht nun:

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=1}^{n+1} (1-\frac{1}{k+1}) = \frac{1}{n+1} * (1 - \frac{1}{(n+1)+1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ Ist ja die IV

ja?

07.11.2010, 17:22

klarsoweit

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Richtig. Und jetzt nur noch $\begin{eqnarray*} (1 - \frac{1}{(n+1)+1}) \end{eqnarray*}$ auf einen Bruch bringen.
Gelegentlich kannst du auch mal (n+1) + 1 zusammenfassen.

07.11.2010, 17:56

Azurech

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Das ist so einfach, da hab ich Probleme mit Big Laugh

Big Laugh

das ist ja peinlich^^

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{n+2} \end{eqnarray*}$

Richtig? Big Laugh

Big Laugh

Dann muss ich nun:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} * \frac{n+1}{n+2} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n+1)+1} \end{eqnarray*}$ bringen, ja?

07.11.2010, 18:40

Azurech

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Ok. ich multipliziere die Brüche.

$\begin{eqnarray*} \frac{1(n+1)}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

Dann kürz ich (n+1) raus

und hab am Ende eben das gesuchte

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+2} \end{eqnarray*}$

fertig smile

smile

War ja einfach ;D
Danke vielmals.

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