Matrizen - Rechtsinverse, Gruppen, Körper

07.11.2010, 14:30

thomann

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Matrizen - Rechtsinverse, Gruppen, Körper

Sei A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a, b , c, d \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ad - bc \neq 0 \end{eqnarray*}$

Nun soll gezeigt werden, dass A eine Rechtsinverse bzgl. der Matrixmultiplikation besitzt.

Weiters soll gezeigt werden, dass die Menge

$\begin{eqnarray*} M = \{ \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} : a, b , c, d \in \mathbb{R}, ad - bc \neq 0\} \end{eqnarray*}$

eine Gruppe bzgl. der Matrixmultiplikation ist.

Muss ich dazu einfach die Assoziativität beweisen, dann, dass es ein neutrales Element bzgl. der Multiplikation gibt und dann noch, dass es ein inverses Element gibt?

Ich habe die Assoziativität einfach nachgerechnet...ist eine ziemliche Schreibarbeit, aber so müsste es ja auch gehen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bzgl. des neutralen Elements der Multiplikation kann ich ja auch einfach $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit der Einheitsmatrix multiplizieren. Dann kommt ja wieder $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ heraus.

Kann ich das dann mit dem Rechtsinversen genauso machen?

Zuerst müsste ich allerdings beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine Rechtsinverse besitzt.

Nur habe ich diesbezüglich keine Idee. Kann mir da jemand einen Tipp geben?
In der Aufgabenstellung ist gegeben, wie die Rechtsinverse aussieht.
Kann ich das dann einfach so verwenden, dass ich die Matrix A mit der gegebenen Rechtsinvseren multipliziere? Dann müsste ja die Einheitsmatrix als Ergebnis dastehen...wäre das ausreichend?

07.11.2010, 14:47

tigerbine

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RE: Matrizen - Rechtsinverse, Gruppen, Körper
Der geübte Blick weiß, welche Gruppe dies hier ist. Besonders warum $\begin{eqnarray*} ad - bc \neq 0 \end{eqnarray*}$ gelten muss. [Tipp: Rang, Regulär, Determinante]

Gruppe (grob):
* assoziativ
* Einselement
* Inverse Elemente

Assoziativ ist Schreibarbeit. Sollten aber keine Probleme auftreten. Freude

Freude

Neutrales Element kann man auch leicht angeben. Freude

Freude

Nun muss man sich noch eine Matrix basteln, die die Rechtsinverse/Linksinverse darstellt. Es ergeben sich Gleichungen und etwas im Nenner, was $\begin{eqnarray*} ad - bc \neq 0 \end{eqnarray*}$ nötig machen wird.

Am Ende sollte man sich für 2x2 Matrizen die einfache Invertierungsformel merken.

Zitat:

In der Aufgabenstellung ist gegeben, wie die Rechtsinverse aussieht.

Dann wird es einfach. Du musst ja nur ausrechnen, dass die Einheitsmatrix rauskommt und zeigen, dass die Matrix in der Menge liegt. Freude

Freude

08.11.2010, 14:22

thomann

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Hallo,

danke für die Antwort. smile

smile

Ich habe jetzt alles (Assoziativität, neutrales Element, inverses Element) nachgerechnet. Passt auch soweit.
Muss ich nicht Abgeschlossenheit auch noch zeigen?

Ich bin etwas skeptisch bzgl. dem ersten Aufgabenteil, bei dem ich beweisen soll, dass A eine Rechtsinverse besitzt. Die Rechtsinverse ist zwar angegeben, aber ich weiß nicht, ob ich sie verwenden darf. Zumal die erste Aufgabe dann ja eigentlich nur eine Teilaufgabe der zweiten Aufgabe ist, bei der ich beweisen muss, dass M eine Gruppe bzgl. der Matrixmultiplikation ist.
Im Prinzip kann ich da dann einfach auf die erste Aufgabe verweisen.

08.11.2010, 17:17

tigerbine

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Also was denn nun? Die Gruppe kannst du doch nicht schon haben, wenn du nun erst die Inversen untersuchst... verwirrt

verwirrt

Zitat:

Nun soll gezeigt werden, dass A eine Rechtsinverse bzgl. der Matrixmultiplikation besitzt.

Zitat:

Muss ich nicht Abgeschlossenheit auch noch zeigen?

Bzgl. was nun? Das die Matrixmultiplikation wieder eine solche Matrix liefert?

Das hatte ich dir "beim groben" nicht extra hin geschrieben. Man muss sich die "Verknüpfung" darauf hin schon anschauen. smile

smile

08.11.2010, 18:31

thomann

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RE: Matrizen - Rechtsinverse, Gruppen, Körper

Zitat:

Original von thomann
Sei A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a, b , c, d \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ad - bc \neq 0 \end{eqnarray*}$

Nun soll gezeigt werden, dass A eine Rechtsinverse bzgl. der Matrixmultiplikation besitzt.

Das habe ich einfach so bewiesen, dass ich A mit der Rechtsinversen, die gegeben ist (habe ich hier nicht angegeben), multipliziert habe. Das Ergebnis war die Einheitsmatrix.

Zitat:

Original von thomann
Weiters soll gezeigt werden, dass die Menge

$\begin{eqnarray*} M = \{ \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} : a, b , c, d \in \mathbb{R}, ad - bc \neq 0\} \end{eqnarray*}$

eine Gruppe bzgl. der Matrixmultiplikation ist.

Hierzu muss ich ja wieder beweisen, dass eine Inverse existiert. Dazu kann ich ja einfach die aus der ersten Aufgabe nehmen...die Bedingungen sind ja dieselben.
Das habe ich gemeint. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Oder liege ich da falsch?

Und ja, ich meinte Abgeschlossenheit bzgl. der Matrixmultiplikation. Ich weiß nicht, wie ich das überprüfen kann. Ich habe soweit alles andere ausgerechnet. Die Abgeschlossenheit bzw. der Beweis dazu fehlt allerdings noch.

08.11.2010, 18:53

tigerbine

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RE: Matrizen - Rechtsinverse, Gruppen, Körper
1. Allgemein 2 Matrizen multiplizieren und auf die entscheidende Gruppeneigenschaft prüfen.

2. Die Inverse nachrechnen ist gut. Aber Liegt die Inverse auch in der M?

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08.11.2010, 19:01

thomann

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Hm, daraus werde ich nicht so ganz schlau.

Zwei beliebige Matrizen aus der Menge M miteinander zu multiplizieren ist kein Problem. Aber was meinst Du mit "auf die entscheidende Gruppeneigenschaft prüfen"?
Ich muss dann ja irgendwie beweisen, dass das Ergebnis der Multiplikation wieder in der Menge M liegt.

Aber wie kann man das überprüfen?

Deshalb weiß ich auch nicht, wie ich das bei der Inversen überprüfen kann. Von der Menge M weiß ich nach Voraussetzung ja nur, dass die Elemente der Menge Elemente der reellen Zahlen sein müssen und dass $\begin{eqnarray*} ad-bc \neq 0 \end{eqnarray*}$ gelten muss.

08.11.2010, 19:04

tigerbine

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Warum sollte das Produkt denn wieder in der Menge M liegen? verwirrt

verwirrt

Man weiß vielleicht schon, dass da wieder eine 2x2 Matrix rauskommt. Aber M ist ja nicht die Menge der 2x2 Matrizen.

08.11.2010, 19:10

thomann

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Dann habe ich das mit der Abgeschlossenheit wohl falsch verstanden.

Ich dachte, wenn $\begin{eqnarray*} A, B \in M \end{eqnarray*}$ dann folgt, dass $\begin{eqnarray*} A \cdot B \in M \end{eqnarray*}$ bzw. ich dachte, dass das dann abgeschlossen bzgl. der Multiplikation bedeutet.

08.11.2010, 19:12

tigerbine

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Das musst du zeigen. Dann ist es bzgl. der Verknüpfung "Mal" abgeschlossen.

08.11.2010, 19:27

thomann

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Also, wenn ich die zwei Matrizen $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} e & f\\ g & h \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a, b, c, d, e, f, g, h \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ multipliziere, dann erhalte ich eine Matrix, deren Einträge ja wieder aus denselben Elementen $\begin{eqnarray*} a, b, c, d, e, f, g, h \end{eqnarray*}$ bestehen.

Die Elemente sind allerdings multiplikativ und additiv miteinander verknüpft. Aber sie sind trotzdem noch in derselben Menge.

Die Inverse zur Matrix A besteht ja auch wieder nur aus Elementen, die in A selbst vorkommen.
Ist nicht insofern die Abgeschlossenheit gezeigt? verwirrt

verwirrt

08.11.2010, 19:30

tigerbine

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Du erkennst nicht den Kern der Sache hier. Klar kommt da - wir kennen schon die Rechenregeln in IR - wieder eine 2x2 Matrix raus. Aber was ist denn die entscheidende Eigenschaft der Menge M (letzte Wiederholung!)

$\begin{eqnarray*} M = \{ \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} : a, b , c, d \in \mathbb{R}, ad - bc \neq 0\} \end{eqnarray*}$

Du wirst nun doch nicht behaupten wollen, dass jede reelle 2x2 Matrix in M liegt. verwirrt

verwirrt

smile

08.11.2010, 19:39

thomann

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Dass $\begin{eqnarray*} ad-bc \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Sonst würde das mit der Inversen ja auch nicht funktionieren. Bzw. das besagt, dass die Determinante einer beliebigen Matrix in M niemals 0 ist.

Und dadurch, dass bei der Matrixmultiplikation eine Matrix entsteht, deren Determinante ungleich 0 ist, ist die Abgeschlossenheit gezeigt?!

08.11.2010, 19:45

tigerbine

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Sie ist genau dann gezeigt, wenn auch für das Produkt gilt $\begin{eqnarray*} a'd'-b'c' \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Solange du die Äquivalenz dieser Forderung nicht zu det(AB) ungleich 0 gezeigt hast, reicht das nicht aus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.11.2010, 19:59

thomann

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Ok, danke. Ich glaube, dass ich es jetzt verstanden habe. smile

smile

08.11.2010, 20:04

tigerbine

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smile

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