Bedingte Wahrscheinlichkeit Poissonverteilung

07.11.2010, 15:57

Gittetier

Bedingte Wahrscheinlichkeit Poissonverteilung

Hallo, ich soll folgende Aufgabe lösen:

In einem Call-center treffen werktags in der Zeit zwischen 17 und 19 Uhr im Durchschnitt 24 Anrufe ein. Die Anzahl der Anrufe kann als Poissonverteilung angesehen werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Werktag zwischen 17.15 und 17.45 Uhr maximal fünf Anrufe eingehen, wenn bekannt ist, dass zwischen 17.15 und 18.15 Uhr genau zehn Anrufe eingegangen sind? (Nehmen Sie an, dass die Anzahl der Anrufe zwischen 17.15 und 17.45 Uhr unabhängig von der Anzahl der Anrufe zwischen 17.15 und 18.15 Uhr ist.)

Mein versuch:
Ereignis X: Anzahl der Anrufe zwischen 17.15 und 17.45
Ereignis Z: Anzahl der Anrufe zwischen 17.15 und 18.15

gesucht: P(X<=5|Z=10)

$\begin{eqnarray*} P(X\leq 5|Z=10)=\frac{P\left[(X\leq 5)\cap (Z=10)\right] }{P(Z=10)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(Z=10)=e^{-\mu } \frac{{-\mu } ^x}{x!} = e^{-12}\frac{12^{10}}{10!}=0,104... \end{eqnarray*}$

Auch P(X<=5) hab ich ausgerechnet: =0,44568 ...

Aber wie komme ich auf die Wahrscheinlichkeit im Zähler?

07.11.2010, 16:04

René Gruber

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Zitat:

Original von Gittetier
Nehmen Sie an, dass die Anzahl der Anrufe zwischen 17.15 und 17.45 Uhr unabhängig von der Anzahl der Anrufe zwischen 17.15 und 18.15 Uhr ist.

Eine solche Annahme ist schlicht fragwürdig. Bist du dir sicher, dass da nicht doch eher

Zitat:

Nehmen Sie an, dass die Anzahl der Anrufe zwischen 17.15 und 17.45 Uhr unabhängig von der Anzahl der Anrufe zwischen 17.45 und 18.15 Uhr ist.

gestanden hat, also vollständig getrennte Zeiträume - das wäre dann die übliche Annahme.

10.11.2010, 13:03

Gittetier

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Hey, du bist echt der Checker. Ich hab mich geirrt. Tatsache. Es ist so wie du gedacht hast: 17.45 bis 18.15 Uhr.
Ändert das was an meinem Problem? Ich weiß gerade nicht. Ich muss erst nochmal überlegen ...
Viele Grüße Gittetier

12.11.2010, 14:41

Gittetier

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Hallo, das stimmt leider doch gar nicht. Man sollte die Aufgabe wirklich genau durchlesen. Aber es war auch etwas verwirrend. Naja, also. So ist die Aufgabe wirklich:

In einem Call-center treffen werktags in der Zeit zwischen 17 und 19 Uhr im Durchschnitt 24 Anrufe ein. Die Anzahl der Anrufe kann als Poissonverteilung angesehen werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Werktag zwischen 17.15 und 17.45 Uhr maximal fünf Anrufe eingehen, wenn bekannt ist, dass zwischen 17.15 und 18.15 Uhr genau zehn Anrufe eingegangen sind? (Nehmen Sie an, dass die Anzahl der Anrufe zwischen 17.15 und 17.45 Uhr unabhängig von der Anzahl der Anrufe zwischen 17.45 und 18.15 Uhr ist.)

12.11.2010, 18:41

Gittetier

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So, ich habe nachgedacht und auch einiges rausbekommen. Allerdings: Ich habe das jetzt so anhand von konkreten Zahlen ausgeknobelt. Vielleicht gibt es noch einen kürzeren, mathematisch eleganteren Weg?

Meine Lösung bislang:

Ich habe drei Ereignisse definiert.
X: Anzahl der Anrufe zwischen 17.15 und 17.45
Y: Anzahl der Anrufe zwischen 17.45 und 18.15
Z: Anzahl der Anrufe zwischen 17.15 und 18.15

gesucht ist ja: P(x<=5|Z=10)

X unter der Bedingung Z tritt ja immer dann ein, wenn die Ereignisse X + Y = Z
also, ich meine damit:
- wenn in der 1. halben Stunde kein Anruf eingeht, müssen in der 2. halben Stunde 10 Anrufe eingehen
- wenn in der 1. halben Stunde 1 Anruf eingeht, müssen in der 2. halben Stunde 9 Anrufe eingehen
usw ...

Ich kann also schreiben:
$\begin{eqnarray*} P\left[(X\leq 5)\cap(Z=10)\right]=P\left[(X=0)\cap (Y=10)\right] \\ + P\left[(X=1)\cap (Y=9)\right] \\+ P\left[(X=2)\cap (Y=8)\right] \\+ P\left[(X=3)\cap (Y=7)\right] \\+ P\left[(X=4)\cap (Y=6)\right] \\+ P\left[(X=5)\cap (Y=5)\right] \end{eqnarray*}$

Da die Ereignisse X und Y unabhängig voneinander sind, gilt:
$\begin{eqnarray*} P\left[(X=x)\cap (Y=y)\right]= P(X=x) *P(Y=y) \end{eqnarray*}$

nun kann ich einsetzen:
$\begin{eqnarray*} P\left[(X\leq 5)\cap(Z=10)\right]=e^{-6}*e^{-6}*\frac{6^{10}}{10!} \\ + e^{-6}*e^{-6}*\frac{6^{1}}{1!} \frac{6^{9}}{9!}\\+ e^{-6}*e^{-6}*\frac{6^{2}}{2!} \frac{6^{8}}{8!}\\+ e^{-6}*e^{-6}*\frac{6^{3}}{3!} \frac{6^{7}}{7!}\\+ e^{-6}*e^{-6}*\frac{6^{4}}{4!} \frac{6^{6}}{6!}\\+ e^{-6}*e^{-6}*\frac{6^{5}}{5!} \frac{6^{5}}{5!}\\=e^{-12}6^{10}[\frac{1}{10!} +\frac{1}{9!} +\frac{1}{2*8!}+\frac{1}{3!*7!}+\frac{1}{4!*6!}+\frac{1}{5!*5!}] \end{eqnarray*}$

Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist damit:

$\begin{eqnarray*} P\left[(X\leq 5)|(Z=10)\right]=\frac{P\left[(X\leq 5)|(Z=10)\right]}{P(Z=10)} \\ =\frac{e^{-12}6^{10}[\frac{1}{10!} +\frac{1}{9!} +\frac{1}{2*8!}+\frac{1}{3!*7!}+\frac{1}{4!*6!}+\frac{1}{5!*5!}]}{\frac{e^{-12} *12^{10}}{10!} }\\=\frac{10!*[\frac{1}{10!} +\frac{1}{9!} +\frac{1}{2*8!}+\frac{1}{3!*7!}+\frac{1}{4!*6!}+\frac{1}{5!*5!}]}{2^{10}} \\= 0,6230 \end{eqnarray*}$

Puh. Das ist ganz schön aufwendig. Ich würde mich total freuen, wenn du mir einen Tip gibst. Vielen Dank schonmal und Grüße

Gittetier

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