Funktionen - Einen Wert auf mehrere Abbilden

07.11.2010, 18:19

norathem

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Funktionen - Einen Wert auf mehrere Abbilden

Hallo zusammen,

wie oben schon genannt würde es mich einmal interessieren ob man einen Wert auf mehrere abbilden kann. Leider habe ich dazu bisher nichts gefunden.

Im Prinzip stell ich mir das so vor:

Wir haben eine Menge M1 mit:

M1 = {a,b}

und

M2 = {1,2,3,4}

wenn ich nun eine Funktion habe die M1 auf M2 abbildet wäre es dann Möglich dass

a -> 1
a -> 2
b -> 3
b ->4

Sorry für die Umständliche Darstellung - Kreise und Pfeile malen gibts leider noch nicht im Formeleditor Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß
norathem

07.11.2010, 18:20

tigerbine

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RE: Funktionen - Einen Wert auf mehrere Abbilden
Da es eine Funktion ist, ist dies per Definition ausgeschlossen.

07.11.2010, 18:20

Mulder

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RE: Funktionen - Einen Wert auf mehrere Abbilden
Funktion (Grundidee)

07.11.2010, 18:30

norathem

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Hmm dann hab ich ein Problem.

Das ganze kommt daher:

Wir sollen beweisen, dass das eine Funktion genau dann surjektiv einer Funktion ist wenn das Urbild der Funktion injektiv ist.

Nun hab ich folgende Überlegung angestellt - vielleicht kann mir ja jemand helfen meinen Denkfehler zu finden:

Wenn

M1 = { -2, -1, 0, 1, 2}

und die Funktion

f(x) = x^2

dann folg daraus ja ein

M2 = { 0, 1, 4}

das würde doch aber bedeuten, dass die Urbildfunktion Teilweise auf 2 Werte zeigt. (4 z.B. auf -2 und 2)

07.11.2010, 18:35

tigerbine

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Zitat:

Wir sollen beweisen, dass das eine Funktion genau dann surjektiv einer Funktion ist wenn das Urbild der Funktion injektiv ist.

Bitte mal den Originalen Wortlauf. Das Urbild ist eine Menge. Und die ist weder injektiv, surjektiv, bijektiv.

07.11.2010, 18:52

norathem

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Irgendwie will das Latex bei mir nicht. Ich hoffe du kannst damit was anfangen

\text{Sei} f : X -> Y \text{eine Abbildung von X nach Y . Wir definieren die Urbildfunktion}
f^{<-} : P (Y) -> P (X) \text{auf der Potenzmengen von Y folgendermaßen:}
\text{Für} M \subseteq Y sei f_{<-} (M) := \left{x \in X : f (x) \in M \right\}
\text{Zeigen Sie, dass f genau dann surjektiv ist, wenn} f-{<-} \text{injektiv ist.}

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07.11.2010, 19:13

tigerbine

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Text nicht in latex schreiben. unglücklich

unglücklich

07.11.2010, 21:01

norathem

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Tut mir Leid, ich habe bisher keinerlei Erfahrungen mit Latex.
Hoffe jetzt ist es besser.

Sei $\begin{eqnarray*} f : X -> Y \end{eqnarray*}$ eine Abbildung von X nach Y .
Wir definieren die Urbildfunktion
$\begin{eqnarray*} <br /> f^{<-} : P (Y) -> P (X) \end{eqnarray*}$ auf der Potenzmengen von Y folgendermaßen:
Für $\begin{eqnarray*} M \subseteq Y \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} f^{<-} (M) := \left\{x \in X : f (x) \in M \right\} \end{eqnarray*}$
Zeigen Sie, dass f genau dann surjektiv ist, wenn $\begin{eqnarray*} f^{<-} \end{eqnarray*}$ injektiv ist.}

08.11.2010, 01:54

frischfisch

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Es kann sein dass ich mich irre, aber ist es nicht so, dass eine Funktion nach Definition nicht das gleiche wie eine Abbildung ist?
Wenn ich das richtig in Erinnerung habe, ist jede Funktion eine Abbildung aber nicht jede Abbildung eine Funktion. Oder?

08.11.2010, 01:59

tigerbine

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Ich vermute, du verwechselst da was...
http://www.iti.fh-flensburg.de/lang/algo...lagen/menge.htm

Back to topic

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} f : X \to Y \end{eqnarray*}$ eine Abbildung von X nach Y . Wir definieren die Urbildfunktion (d.h. nicht die Umkehrfunktion)

$\begin{eqnarray*} f^{\leftarrow} : P (Y) \to P(X) \end{eqnarray*}$

auf der Potenzmenge von Y folgendermaßen:

Für $\begin{eqnarray*} M \subseteq Y \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} f^{\leftarrow} (M) := \left\{x \in X : f (x) \in M \right\} \end{eqnarray*}$

---------------------
Zeigen Sie, dass f genau dann surjektiv ist, wenn $\begin{eqnarray*} f^{\leftarrow} \end{eqnarray*}$ injektiv ist.

Du weißt, was die Potenzmenge ist?

08.11.2010, 02:05

frischfisch

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Hm, das ist jetzt seltsam.
Mir ist gerade noch ein Beispiel für eine Abbildung eingefallen, die keine Funktion ist...
Nämlich folgende:
Eine Wohnung wird abgebildet auf ihre Bewohner. Und natürlich wohnen in vielen Wohnungen mehr als eine Person.
Wohnung -> {Person A, Person B, ...}
Dieses Beipiel ist sehr unmathematisch aber ich hoffe es ist trotzdem verständlich.
Ähnliche Beispiele gibt es auch in der Mathematik.

Ja ich weiß was eine Potenzmenge ist. Oder meinstest du nicht mich?

08.11.2010, 02:07

tigerbine

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Sehe dein Problem nicht. Denn du hast ja {} geschrieben. Jeder Wohnung wir eine Menge von Bewohner zugeordnet. Aber eben eindeutig eine Menge.

08.11.2010, 02:12

frischfisch

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Ich hab kein Problem. Zumindest nicht hiermit... Ich hab nur versucht zu helfen...

08.11.2010, 02:13

tigerbine

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Zitat:

Mir ist gerade noch ein Beispiel für eine Abbildung eingefallen, die keine Funktion ist...

Ich meinte, warum sollte es keine Funktion sein?

Mit der Potenzmenge meinte ich den Fragesteller. Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.11.2010, 10:18

norathem

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Ich meine zu wissen, dass eine Potenzmenge die Menge aller möglichen Teilmengen ist.

Also von {1,2,3} wäre die Potenzmenge dann:

{{1},{2},{3},{1, 2},{1, 3}, {2, 3}, {1,2,3}}

Allerdings befürchte ich, dass ich diesen Punkte vorher etwas außer Acht gelassen haben.
Nach meinem vorherigem Beispiel würde das dann bedeuten, dass 4 auf die Teilemnge {-2, 2} zeigt.
Richtig?

Somit wäre nämlich das Problem vom Anfang erledigt.

08.11.2010, 12:01

tigerbine

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Zitat:

Original von norathem
Allerdings befürchte ich, dass ich diesen Punkte vorher etwas außer Acht gelassen haben.

Richtig. Deswegen habe ich nach dem OTon gefragt. Wir bilden nun zwischen Mengen ab.

$\begin{eqnarray*} f^{\leftarrow} : P (Y) \to P(X) \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} M \subseteq Y \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} f^{\leftarrow} (M) := \left\{x \in X : f (x) \in M \right\} \end{eqnarray*}$

Nun überlegen, was hier injektiv bedeutet.

08.11.2010, 12:29

norathem

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Naja, ich würde mal sagen:

$\begin{eqnarray*} \exists M \in P(Y) \end{eqnarray*}$

so dass gilt

$\begin{eqnarray*} \forall A,B \in M : f^{\leftarrow}(A) = f^{\leftarrow}(B) \Rightarrow A = B \end{eqnarray*}$

Oder worauf willst du hinaus?

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