Zeilenäquilibrierung

08.11.2010, 19:19	DerJFK	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeilenäquilibrierung Aufgabe: Eine Matrix, bei der die Betragssummen aller Zeilen gleich sind, nennt man Zeilenequilibriert. Durch Multiplikation mit einer regularen Diagonalmatrix kann man jede regulare Matrix in eine zeilenequilibrierte Matrix transformieren. Zeigen Sie: Ist A eine zeilenequilibrierte regulare Matrix, so gilt für jede reguläre Diagonalmatrix D $\begin{eqnarray} $cond_{\infty} (A) \le cond_{\infty}(DA)$ \end{eqnarray}$ Meine Idee: folgends habe ich mir dann aufgeschrieben $\begin{eqnarray} $\\| A\\|_{\infty} \cdot \\|A^{-1}\\|_{\infty} \le \\|DA\\|_{\infty} \cdot \\|(D A)^{-1}\\|_{\infty} = \\| D A\\|_{\infty} \cdot \\|A^{-1} D^{-1}\\|_{\infty}$ \end{eqnarray}$ Ich denke, dass ich auch davon ausgehen kann das $\begin{eqnarray} $\\| A \\|_{\infty} = 1$ \end{eqnarray}$ da A zeilenäquilibriert ist und jede weitere skalierung sich auch auf die gesamt ungleichung gleichermaßen auswirkt. Mir fehlen gerade gute Ansätze, ich sehe gerade eben die wechselwirkung,.. wenn die einträge in D größer 1 sind,.. wir \|\|DA\|\| größer aber \|\|A-1D-1\|\| kleiner,... und bei einträge in D kleiner 1 eben andersrum,.. nur ich weiß nicht wie ich A und inv(A) irgendwie sagen kann in welchem verhältnis die stehen :/ hoffe mir kann jemand helfen
08.11.2010, 23:42	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeilenäquilibrierung Ich erinnere mich dunkel. Lange Diskussion und Literatur mit Beweis.
09.11.2010, 01:08	DerJFK	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hatte ich vorhini auch mal da stehen, nur irgendwie nicht richtig gesehen :/ nun geht es ja supi $\begin{eqnarray} $\\| DA \\|_{\infty} \cdot \\| A^{-1} D^{-1} \\|_{\infty} \ge \\| D \\|_{\infty} \\| A \\|_{\infty} \frac {\\| A^{-1} \\|_{\infty} }{\\| D \\|_{\infty} } = \\| A \\|_{\infty}\\| A^{-1} \\|_{\infty} $ \end{eqnarray}$ hatte mir vorher schonmal gedacht dass ja gilt $\begin{eqnarray} $\\| A^{-1} D^{-1} \\|_{\infty}\ge \frac 1{\max \limits_{i=1,...,n} \|d_i\|} \cdot \\| A^{-1} \\|_{\infty}$ \end{eqnarray}$ nur irgendwie habe ich da auch den wald vor lauter bäumen nicht gesehen, aber wo ich grad deinen link gesehen habe ist es mir auf einen schlag klar geworden, dass das ja die lösung ist g DANKE

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