Stabilität beim Eulerverfahren

09.11.2010, 12:26	xemle75ml	Auf diesen Beitrag antworten »
Stabilität beim Eulerverfahren Meine Frage: Hallo, habe folgendes Problem: Ich soll die größte Schrittweite $\begin{eqnarray} h>0 \end{eqnarray}$ finden, s.d. das explizite Eulerverfahren angewandt auf das System von Differenzialgleichungen $\begin{eqnarray} f(n)=\begin{cases} y'(t)=Ay(t) \\ y(0)=y_{0} \end{cases} \end{eqnarray}$ stabil ist. $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist dabei eine diagonalisierbare $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ x $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Matrix. Wie genau kann ich das machen?? Meine Ideen: Im Fall, dass ich lediglich eine Differentialgleichung betrachte, welche nur von einem Skalaren abhängig ist, also $\begin{eqnarray} f(n)=\begin{cases} y'(t)=\lambda y(t) \\ y(0)=y_{0} \end{cases} \end{eqnarray}$ ist es einfach. Mit dem Eulerverfahren ergibt sich ja folgendes: $\begin{eqnarray} y_{k+1}=y_{k}+h\lambda y_{k}=y_{k}(1+h\lambda) \end{eqnarray}$ , wobei ich jetzt nur noch $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ so wählen muss, dass $\begin{eqnarray} \|1+h\lambda\|<1 \end{eqnarray}$ und habe mein $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ Im Fall den ich behandeln soll mit $\begin{eqnarray} A \in \mathbb R^{nxn} \end{eqnarray}$ darf ich einfach hingehen und $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ diagonalisieren??? Denn dann würde ich ja ein System von $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Differentialgleichungen erhalten, nämlich $\begin{eqnarray} f(n)=\begin{cases} y'(t)=\Lambda y(t) \\ y(0)=y_{0} \end{cases} \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} \Lambda=diag(A) \end{eqnarray}$ , was also dem System $\begin{eqnarray} f(n)=\begin{cases} y_{1}'(t)=\lambda_{1} y_{1}(t) \\ .<br /> .<br /> .<br /> y_{n}'(t)=\lambda_{n}y_{n}(t) \end{cases} \end{eqnarray}$ entspricht, wobei die $\begin{eqnarray} \lambda_{i} \end{eqnarray}$ jeweils die Eigenwerte von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ wären, also auf der Hauptdiagonalen von $\begin{eqnarray} \Lambda \end{eqnarray}$ stehen würden und ich jetzt ja ein System von Differentialgleichungen erhalte, welches eben nur von Skalaren abhängt, wobei ein solches $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray*}$ dann ja einfach durch auswerten der einzelnen Gleichungen, wie ich es oben schon gemacht habe, erhalten würde. Ist das so der korrekte Weg?? Wäre sehr dankbar für Hilfe Ps: Hoffe habs verständlich genug ausgedrückt, was ich genau will, ansonsten würde ich mich auch über eventuelle Rückfragen bezüglich des Problems freuen
13.11.2010, 19:34	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Als ich den Titel gelesen habe, dachte ich zunächst an einen anderen Stabilitätsbegriff... Sei es 'drum, gemeint ist wohl, dass das Eulerverfahren die Eigenschaft, dass $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ (asymptotisch) stabiler Fixpunkt der Differentialgleichung ist, erhalten soll, was letztendlich zum Begriff der A-Stabilität führt. Inhaltlich erscheint mir dein Vorgehen völlig richtig du solltest nur vielleicht ein bisschen mehr hinschreiben. Formal bedeutet die Diagonalisierbarkeit doch, dass es Diagonalmatrix $\begin{eqnarray} \Lambda \end{eqnarray}$ und eine Koordinatentransformation $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} v_0=Q^{-1}y_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Lambda=Q^{-1}AQ \end{eqnarray}$ , so dass sich die DGL als $\begin{eqnarray} \begin{cases} v'(t)=\Lambda v(t) \\ v(0)=v_{0} \end{cases} \end{eqnarray}$ schreiben lässt. Da $\begin{eqnarray} \Lambda \end{eqnarray}$ Diagonalmatrix ist, sind die Gleichungen, wie von dir völlig richtig beschrieben, entkoppelt und du kannst das wie geplant aud den 1-D Fall zurückführen. Man sollte vielleicht noch bemerken, dass die Stabilität nicht von der Wahl der Basis abhängt.

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