Völlige Planlosigkeit

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mustafa Auf diesen Beitrag antworten »
Völlige Planlosigkeit
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich hänge an folgender Aufgabe:

Drei Studenten schlagen ihrem Professor folgendes Spiel vor: Zunächst würfelt jeder Student dreimal nacheinander mit einem gewöhnlichen sechsseitigenWürfel (Augenzahl 1-6). Die Ergebnisse werden (mit Reihenfolge) notiert. Nachdem die Würfelergebnisse bekannt sind, müssen sich die Studenten auf drei relle Zahlen g1, g2 und g3 einigen, die als Gewichtsfaktoren zur Berechnung einer Punktzahl für jeden Studenten aus seinen Würfelergebnissen dienen (würfelten also zum Beispiel zwei Studenten (3; 5; 1) bzw. (2; 2; 4), so bekommen sie 3g1 + 5g2 + 1g3 bzw. 2g1 + 2g2 + 4g3 Punkte). Jedem Studenten, dessen so errechnete Punktzahl
1. (echt) positiv, und
2. gleich der maximal erreichten Punktzahl (die größte der drei Punktzahlen)
ist, muss der Professor einen Euro bezahlen (herrscht Gleichstand bei der maximalen Punktzahl, kann das mehrere Studenten betreffen). Alle verbleibenden Studenten müssen dafür ihrerseits dem Professor (jeweils) 2 Euro bezahlen.
a) Bei welchen Punktzahlen verliert der Professor insgesamt 3 Euro in einem Spiel?
b) Angenommen, der erste Student würfelt (1; 1; 3), der zweite (4; 6; 6) und der dritte (2; 5; 3). Wie sollten die Studenten bei diesem Ergebnis die Gewichtsfaktoren g1, g2 und g3 wählen, damit der Professor möglichst viel Geld los wird?
c) Geben Sie ein Beispiel für einen Satz Würfelergebnisse an, bei dem der Professor von mindestens einem Studenten Geld bekommt, egal wie die Gewichtsfaktoren gewählt sind.
Begründen Sie Ihre Antworten!

Meine Ideen:
Leider Gottes kann ich den Spaß noch nichtmal thematisch einordnen, hab keinen Plan wie ich an die Aufgabe herangehen soll.

Ich habe mir das mal als Matrix aufgezeichnet, komm dann aber auch nicht weiter. Auch das Ausprobieren (bzw. logische Herausfinden) bestimmter Punktzahlen bringt mich nicht sonderlich weiter.

zu a) Klar ist, dass der Professor an alle zahlen muss, wenn alle drei dieselbe Kombination gewürftelt haben. Ganz unabhängig von den gewählten Punktzahlen. Aber das wird doch so als Antwort sicher nicht alles sein.

zu b) Da mir absolut keine Lösung einfallen will, bei der alle drei die gleiche Punktzahl erreichen habe ich nach Lösungen für zwei Studenten gesucht, die die identische Maximalpunktzahl erreichen. Dabei bin ich auf g = (-2, 0, 2) gestoßen. Aber auch hier wird das doch nicht die gesuchte Antwort sein.

zu c) Hier stehe ich jetzt entgültig auf dem Schlauch und kann mir keinen Reim drauf machen.

Wie ihr seht gehe ich also noch ziemlich planlos an die Sache heran. Auch in der Vorlesung kann ich nichts finden, was mir an dieser Stelle weiterhelfen könnte. Evtl. würde also schon ein Stichwort oder ein klitzekleiner Ansatz weiterhelfen, die übrigen Aufgaben des Blattes habe ich problemlos lösen können. Da geht es um Matrizen, Determinanten Eigenvektoren und -werte.

Viele Grüße
mustafa Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schonmal fürs Verschieben!

Also doch Stochastik ... Big Laugh
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Und Algebra/Geometrie:

Das Wurfergebnis eines einzelnen Studenten kann man als Punkt im dreidimensionalen Raum auffassen. D.h. die drei Studentenergebnisse entsprechen drei Punkten im Raum.

Durch drei Punkte kann man nun immer (mindestens) eine Ebene legen, und somit g1,g2,g3 (z.B. über HNF) finden, so dass die drei Gewinnpunktzahlen gleich sind...


P.S.: Mein Kompliment dem Ersteller dieser Aufgabe, mal was erfrischendes. Freude
mustafa Auf diesen Beitrag antworten »

Ui, ähm, das machts jetzt irgendwie noch nicht einfacher.

Okay, drei Punkte hab ich, daraus mach ich die Parameterform

E: x = (1; 1; 3) + s (3; 5; 3) + t (1; 4; 0)

und meinetwegen die Normalform

E: [ x - (1; 1; 3) ] * (-12; 3; 7) = 0

Und jetzt? verwirrt
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Was passiert denn jetzt, wenn du als Gewichte verwendest?

Zitat:
Original von mustafa
Ui, ähm, das machts jetzt irgendwie noch nicht einfacher.

Vielen Dank für diese grandiose Fehleinschätzung. Teufel
mustafa Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, cool, danke schonmal hierfür.

Jetzt stellt sich mir die Frage, ob bei a) als folgendes als Antwort ausreicht:

Der Professor verliert drei Euro bei den Punktzahlen, die abhängig vom Würfelergebnis folgende Gleichung ergibt



wenn
(a, b, c) die Würfelergebnisse von Student 1,
(r, s, t) die Würfelergebnisse von Student 2,
(x, y, z) die Würfelergebnisse von Student 3 sind.

Irgendwie kann ich mir das nicht vorstellen.

Bei C) scheiter ich dann leider immernoch komplett unglücklich
 
 
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mustafa
Der Professor verliert drei Euro bei den Punktzahlen, die abhängig vom Würfelergebnis folgende Gleichung ergibt


Also ich habe oben meine Gedanken zur Lösung erläutert und nicht einfach hingeknallt. Wäre schön, wenn du dasselbe tun würdest, sofern du Kommentare dazu wünschst. Jedenfalls werde ich nicht rätseln, wie du auf diese Gleichungen kommst - vor allem, da ich nicht erkenne, wie der durchaus vorkommende Fall c) da reinpasst. unglücklich


Anders gefragt: Wie wählst du , so dass drei Studenten mit den Würfelergebnissen (1,1,1), (2,2,2), (3,3,3) alle drei gewinnen? Da bin ich aber gespannt. Big Laugh
mustafa Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, sorry.

Ich habe mir wiederum die drei (nun unbekannten) Punkte, in meinem Fall (a, b, c), (r, s, t) und (x, y, z) genommen, daraus zunächst die Parameterform

E: g = (a; b; c) + u (r-a; s-b; t-c) + v (x-a; y-b; z-c)

gebildet. Die Normalform lautet dann entsprechend

E: [ g - (a; b; c) ] * (sz-bz-sc-ty+yc+tb; tx-xc-ta-rz+az+rc; ry-ay-rb-xs+as+xb) = 0

Woraus sich abgeleitet aus dem obigen exakten Beispiel für mich die genannte Schlussfolderung in dieser variablen Variante ergibt.

Dein Beispiel würde bei mir für alle g_1, g_2 und g_3 je 0 ergeben, was natürlich nicht geht, da die Punktzahl somit nicht echt positiv, sondern gleich null ist.
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mustafa
sondern gleich null ist.

Genau das ist das einzige Schlupfloch des Professors.

Und was anderes noch: Diese Lösung ist ebenfalls nicht tauglich, wenn die drei Punkte auf einer Geraden liegen: In dem Fall gibt es nämlich mehrere Ebenen durch diese drei Punkte, u.U. auch solche, die dennoch den Gewinn der Studenten bewirken (z.B. (1,1,1),(1,1,2),(1,1,3)). Also: Keine Schnellschüsse!
mustafa Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich denke das reicht aus um einen Großteil der Punkte abzustauben, das gänzliche Verständnis folgt dann so oder so in der Übungsbesprechung.

Vielen Dank! Gott
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Algebraisch gibt es eine ganz klare Charakterisierung für die Gewinnmöglichkeit der Studenten:

Das gelingt genau dann, wenn das Gleichungssystem



mindestens (!) eine Lösung hat.
mustafa Auf diesen Beitrag antworten »

Darf ich fragen woher die Einsen kommen?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist die angestrebte gemeinsame Punktzahl der drei Studenten. Man hätte auch jede andere positive Zahl nehmen können, was durch gemeinsame Normierung aller drei g's aber wieder auf die gute alte 1 zurückgeführt werden kann.
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