Beweis zyklische Gruppen = abelsche Gruppen

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Nadelspitze Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis zyklische Gruppen = abelsche Gruppen
Hallo,

Ich möchte beweisen, dass alle zyklischen Gruppen kommutativ sind.

Genügt dazu eine Gruppentafel aus der dieses hervor geht?

*__ a_1 a_2 a_3 a_4 ... a_n
a_1 a_1 a_2 a_3 a_4 ... a_n
a_2 a_2 a_3 a_4 a_5 ... a_1
a_3 a_3 a_4 a_5 a_6 ... a_2
a_4 a_4 a_5 a_6 a_7 ... a_3
.......................................
a_n a_1 a_2 a_3 a_4 ... a_(n-1)


daraus folgt ja, dass a_i * a_j = a_j * a_i

oder muss hier noch weiter bewiesen werden?


Danke smile
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis zyklische Gruppen = abelsche Gruppen
Hi Nadelspitze,

Ich würde das nicht als Beweis anerkennen. Pünktchenschreibweise ist sowieso nicht sehr schön und auch sonst ist das eher eine "Spatzenkanone".

Nimm Dir lieber zwei beliebige Elemente aus der zyklischen Gruppe (wie sehen solche Elemente aus?) und zeige, dass sie kommutieren. Das eine schnellere, einfachere und schönere Lösung.

Gruß,
Reksilat.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zumal du damit sowieso nur endliche Zyklische Gruppen betrachtest. Es gibt aber, wenn auch nur eine einzige (bis auf Isomorphie), auch unendliche zyklische Gruppen.
Nadelspitze Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis zyklische Gruppen = abelsche Gruppen
Zitat:
Original von Reksilat
Hi Nadelspitze,

Ich würde das nicht als Beweis anerkennen. Pünktchenschreibweise ist sowieso nicht sehr schön und auch sonst ist das eher eine "Spatzenkanone".

Nimm Dir lieber zwei beliebige Elemente aus der zyklischen Gruppe (wie sehen solche Elemente aus?) und zeige, dass sie kommutieren. Das eine schnellere, einfachere und schönere Lösung.

Gruß,
Reksilat.


Ok,
musste in der Aufgabe zuvor eine Gruppentafel einer endlichen zyklischen Gruppe zeigen deswegen musste ich die ohnehin schon schreiben smile



was meinst du mit "wie sehen solche Elemente aus"?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis zyklische Gruppen = abelsche Gruppen
Wie sehen denn die Elemente einer zyklischen Gruppe aus? Irgendwie müsst Ihr doch zyklische Gruppen definiert haben.
Nadelspitze Auf diesen Beitrag antworten »

"Eine Gruppe heißt zyklisch, falls es ein gibt mit "

wobei


aber um erlich zu sein, so richtig versteh ich die def. nicht.

hab dann mit wiki ein wenig gelesen und dort mit drehung und der restklasse verstanden, wie eine zyklische gruppe funktioniert
 
 
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, in Deiner Definition ist ja und somit ist der Ausdruck ja nur ein endliches Produkt von und .

Da ist, kannst Du sehen, dass die Elemente alle die Form oder für geeignetes haben.
Und bei solchen Elementen ist es nicht mehr so schwer zu sehen, dass sie vertauschen.

Bin für heute abend weg. Wink

Gruß,
Reksilat.
Nadelspitze Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Freude Wink
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