Beweis eines Unteraums einer Funktion

09.11.2010, 21:25

Taladan

Auf diesen Beitrag antworten »

Beweis eines Unteraums einer Funktion

Hallo,

ich soll für eine nicht näher definierten linearen Funktion (was bei uns wohl immer lineare Abbildung bedetet) beweisen, das alle Bilder einen Unterraum erzeugen. Ich habe mir natürlich schon Gedanken gemacht, bin aber nicht sicher ob ich richtig ansetze.

Beim Nullvektor hatte ich folgende Idee
Sei v € V und m € M und f gegebene lineare Abbildung, so gilt $\begin{eqnarray*} f(0_v) = f(0 \cdot 0_v) = 0 \cdot (0_v) = 0_w \end{eqnarray*}$ . Ok, so zwar aus der Wiki geklaut aber das müßte doch den Nullvektor beweisen, oder?

Bei Bedingung 2:
$\begin{eqnarray*} u_1 + u_2 \in U \end{eqnarray*}$
habeich mir folgendes Überlegt
Sei $\begin{eqnarray*} v_1, v_2 \in V \end{eqnarray*}$ und seinen $\begin{eqnarray*} v_1, v_2 \neq 0 \end{eqnarray*}$ so gilt $\begin{eqnarray*} f(v_1) = u_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(v_2)= u_2 \end{eqnarray*}$ , so folgt $\begin{eqnarray*} u_1 + u_2 \in U \end{eqnarray*}$ .

Und Bedingung 3:
$\begin{eqnarray*} au \in U \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u = f(v) \end{eqnarray*}$ so folgt $\begin{eqnarray*} au \in U \end{eqnarray*}$

Ok bei Bedingung 3 bin ich mir ziemlich sicher das das falsch ist. aber ich habe einfach keinen anderen Lösungsansatz unglücklich

unglücklich

. Mag mir jemand vielleicht einen Tipp geben?

09.11.2010, 21:32

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit ein klein wenig mehr Begründung wäre das so in Ordnung. smile

smile

Was sind U und V? Wenn du das noch erwähnst sind die Begründungen fast schon erledigt.

Der Beweis für den Nullvektor ist in Ordnung, die Abgeschlossenheit bzgl. der Addition ist auch soweit in Ordnung, du solltest evtl. einen Zwischenschritt mehr machen (f ist linear, was ist dann ist f(u+v)=...), weil U ein ... ist, ist dann auch die Summe enthalten.

Für die Abgeschlossenheit bzgl. der skalaren Multiplikation solltest du einen Zwischenschritt mehr machen, dann wäre das auch in Ordnung.

09.11.2010, 21:54

Taladan

Auf diesen Beitrag antworten »

U und V werden in der Aufgabe genauer definiert. Die funktion bildet von V auf W ab und U ist ein Unterraum von W. Und dann noch S sind alle Bilder von f(v) Ich setze mich morgen noch mal ran. Hätte echt nicht gedacht, das das doch schon richtig ist...

09.11.2010, 21:56

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, um das ein klein wenig zu präzisieren: die Funktion bildet von einem K-Vektorraum in einen anderen K-Vektorraum ab. Das ermöglicht dir die Umformungen und Schlussfolgerungen zu ziehen, die nötig für den Beweis sind.

Aber: Wieso betrachtest du dann U wenn die Funktion doch auf W abbildet?

Edit: Achja, die Einschränkung auf $\begin{eqnarray*} v_1,~v_2\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist unnötig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit 2: Ich glaub ich bin hinter die Bedeutung deines U gekommen...

Du willst ja zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \underbrace{\operatorname{Bild(f)}}_{=:U}\leq W \end{eqnarray*}$ ein Unterraum ist. Dann darfst du U aber nicht direkt als Unterraum annehmen sondern es erst einmal als Teilmenge von W betrachten. Dann zeigst du, dass diese Teilmenge die Kriterien für einen Unterraum erfüllt.

09.11.2010, 22:06

Taladan

Auf diesen Beitrag antworten »

Kurz weil es so definiert wurde, das U ein Unterraum von W und $\begin{eqnarray*} S = v \in V | f(v) \in U \end{eqnarray*}$ ein Unteraum von V ist.

Oder genauer die ganze Aufgabe
Seien V und W Vektorräume über einem Körper IK, und seien U ein Unterraum von W. Sei f: V -> W eine lineare Abbildung.
Beweisen Sie, dass S = { $\begin{eqnarray*} v \in V | f(v) \in U \end{eqnarray*}$ } ein Unteraum von V ist.

09.11.2010, 22:09

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm...magst du vllt. mal die genaue Aufgabenstellung posten? Da geht jetzt doch einiges durcheinander.

Edit: Ok, damit wird dann einiges klarer, die Aufgabe ist dann ja doch ein klein wenig anders. Du sollst nicht zeigen, dass das Bild ein Unterraum von W ist, die Aussage ist anders.

Anzeige

09.11.2010, 22:10

Taladan

Auf diesen Beitrag antworten »

Zeitgleich den Beitrag oben ergänzt.

09.11.2010, 22:13

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann solltest du dir erstmal Gedanken machen, was du gegeben hast und was die Menge S ist. Danach kannst du nachweisen, dass S ein Unterraum ist.

09.11.2010, 22:28

Taladan

Auf diesen Beitrag antworten »

Also doch falsch unglücklich

unglücklich

09.11.2010, 22:33

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Beweis ist insofern falsch, dass er nicht auf die Aufgabe passt, ja. Allerdings wäre der Beweis mit ein paar kleinen Abänderungen passend für die Behauptung:

Seien $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ein Körper, $\begin{eqnarray*} \mathcal V,~\mathcal W \end{eqnarray*}$ Vektorräume über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi:~\mathcal V\rightarrow \mathcal W \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung. Dann ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{Bild}(\varphi)\leq \mathcal W \end{eqnarray*}$ .

Der Beweis für die Behauptung in der Aufgabe ist aber recht ähnlich. Zeig auch hier zuerst, dass der Nullvektor in S enthalten ist.

10.11.2010, 19:21

Taladan

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm ich bin gerade ziemlich verwirrt, was ich da überhaupt beweisen muß. Geht es hier um das Urbild / den Kern der Funktion?

Dann könnte ich sogar das Script einfach abschreiben, denn dort gilt folgendes als beweiß.

(i) Da f linear ist , gilt f(0) = 0.
(ii) Seien v, v' $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Kern(f). dann gilt f(v+v') = f(v) + f(v') = 0 + 0 = 0. Also ist v und v' $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Kern(f)
(iii) Sei a ein Skalar und sei v $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Kern(f), dann gilt f(av) = af(v) = a0 = 0, also av $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Kern(f).

PS: Aber wenn in einer linearen Funktion alles auf 0 abbildet, was macht so eine rechnung überhaupt für einen Sinn? Wäre es nicht einfacher zu sagen, das alles auf 0 abgebildet wird als oben genanntes?

10.11.2010, 19:24

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, um den Kern geht es nicht, um das Urbild schon eher.

Geh genau die Voraussetzungen durch die du hast, was weißt du über $\begin{eqnarray*} \mathcal V,~\mathcal W,~\mathcal U \end{eqnarray*}$ ? Überleg dir was die Menge $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ist (Urbild spielt da eine Rolle), vielleicht findest du einen anderen Weg die Menge $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ zu beschreiben.

10.11.2010, 20:59

Taladan

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau da liegt mein Problem. Ich verstehe nicht WAS genau S sein soll.

In Worte, habe ich als S verstanden. v ist ein Element aus V, das verstehe ich, also da wir momenten als Körper nur Zahlen kennen, ist v eine beliebige Zahl.

f ist die Funktion. f(v) soll also die anwendung eienr belibigen zahl auf v sein und das Ergebnis aus dieser Formel ist dannein Element aus U welches wiederum ein Unterraum von V ist. Das Ergebnis einer Formel ist das Bild und hat doch nichts mit V sondern mit W zu tun.

Dementsprechen habe ich oben auch versucht, den unterraum von dem Bild von f zu beweisen. Und nu stehe ich auf dem Schlauch was genau die von mir wollen.

10.11.2010, 21:08

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Definition Urbild:

Sei $\begin{eqnarray*} f: A\rightarrow B \end{eqnarray*}$ eine Abbildung, man bezeichnet die Menge $\begin{eqnarray*} f^{-1}(B):=\{a\in A~|~f(a)\in B\} \end{eqnarray*}$ als Urbild von von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Ebenso kann man das für Teilmengen von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ definieren, sei also $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ wie oben und $\begin{eqnarray*} M\subset B \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} f^{-1}(M):=\{a\in A~|~f(a)\in M\} \end{eqnarray*}$ das Urbild von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

In Worten: $\begin{eqnarray*} f^{-1}(M) \end{eqnarray*}$ enthält gerade die Elemente von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ deren Bild in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ liegt.

Du hast zwei $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorräume $\begin{eqnarray*} \mathcal V,~\mathcal W \end{eqnarray*}$ sowie einen Unterraum $\begin{eqnarray*} \mathcal U\leq \mathcal W \end{eqnarray*}$ und die Menge $\begin{eqnarray*} S:=\{v\in\mathcal V~|~f(v)\in \mathcal U\} \end{eqnarray*}$ , fallen dir jetzt die Gemeinsamkeiten auf?

10.11.2010, 22:05

Taladan

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja so verstehe ich auch was gemeint ist. Aber die Definition von einem Urbild habe ich bewußt noch nirgends gelesen. Danke. Damit ist S nichts anderes als die Umkehrfunktion auf U angewendet und damti ist das Urbild von U unter f gemeint?

10.11.2010, 22:07

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Taladan
Damit ist S nichts anderes als die Umkehrfunktion auf U angewendet

Nein, nicht die Umkehrfunktion! Eine Umkehrfunktion setzt eine bestimmte Eigenschaft vorraus (welche?).

$\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ist das Urbild von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , ja.

10.11.2010, 22:12

Taladan

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber f hoch minus 1 ist doch die Umkehrfunktion oder nicht? Was bedeutet den sonst f hoch minus 1?

Vorraussetzung ist Bijektivität? Nur so geraten.

10.11.2010, 22:18

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Funktion muss bijektiv sein, damit ihre Umkehrfunktion existiert.

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(U) \end{eqnarray*}$ bezeichnet das Urbild...das ist doch gerade die Definition. Dabei handelt es sich um eine Menge, die Umkehrfunktion ist keine Menge.

10.11.2010, 22:42

Taladan

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Dann probiere ich es morgen mal mit dem Urbild. Danke und gute Nacht.

13.11.2010, 19:18

Taladan

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis eines Unteraums einer Funktion
Mag mal jemand über meinen Beweis schauen, ob er Fehler enthält?

Bei $\begin{eqnarray*} S = \left\{ v \in V | f(v) \in U \right\} \end{eqnarray*}$ handelt es sich um das Urbild von U unter f.

Prüfen des Nullvektors
Sei $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ so gilt, da f linear ist, $\begin{eqnarray*} f(0_v) = 0_u \end{eqnarray*}$ . Es folgt der Nullvektor ist Bestandteil von S.

Prüfen auf Additivität
Sei $\begin{eqnarray*} a, b \in S \end{eqnarray*}$ so gilt $\begin{eqnarray*} a + b = f(a_1) + f(b_1) = f(a_1+b_1) \end{eqnarray*}$ .
Es folgt S ist additiv.

Prüfen der Homogenitivität:
Sei $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s \in S \end{eqnarray*}$ und a ein Skalar aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ , so folgt $\begin{eqnarray*} af(v) = as \end{eqnarray*}$

13.11.2010, 21:36

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis eines Unteraums einer Funktion

Zitat:

Original von Taladan
Mag mal jemand über meinen Beweis schauen, ob er Fehler enthält?

Du hast zum Teil die richtigen Ideen, aber das ist formal falsch aufgeschrieben.

Zitat:

Original von Taladan
Prüfen des Nullvektors
Sei $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ so gilt, da f linear ist, $\begin{eqnarray*} f(0_v) = 0_u \end{eqnarray*}$ . Es folgt der Nullvektor ist Bestandteil von S.

Wieso ist der Nullvektor überhaupt in $\begin{eqnarray*} \mathcal U \end{eqnarray*}$ enthalten? Dass du die $\begin{eqnarray*} v\in\mathcal V,~u\in\mathcal U \end{eqnarray*}$ nimmst ist zwar schön, bringt dich hier aber nicht weiter.

Zitat:

Original von Taladan
Prüfen auf Additivität
Sei $\begin{eqnarray*} a, b \in S \end{eqnarray*}$ so gilt $\begin{eqnarray*} a + b = f(a_1) + f(b_1) = f(a_1+b_1) \end{eqnarray*}$ .
Es folgt S ist additiv.

Nein, so wie es da steht folgt das nicht. Vielmehr:
Seien $\begin{eqnarray*} v_1,v_2\in S \end{eqnarray*}$ , dann existieren $\begin{eqnarray*} u_1,u_2\in\mathcal U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(v_1)=u_1,~f(v_2)=u_2 \end{eqnarray*}$ . Folgere nun weiter die Abgeschlossenheit von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ bzgl. der Addition.

Zitat:

Original von Taladan
Prüfen der Homogenitivität:
Sei $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s \in S \end{eqnarray*}$ und a ein Skalar aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ , so folgt $\begin{eqnarray*} af(v) = as \end{eqnarray*}$

Das ist vollkommener Quatsch, überleg da nochmal (ähnlicher Ansatz wie oben).

13.11.2010, 21:59

Taladan

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis eines Unteraums einer Funktion

Zitat:

Zitat:

Original von Taladan
Prüfen des Nullvektors
Sei $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ so gilt, da f linear ist, $\begin{eqnarray*} f(0_v) = 0_u \end{eqnarray*}$ . Es folgt der Nullvektor ist Bestandteil von S.

Wieso ist der Nullvektor überhaupt in $\begin{eqnarray*} \mathcal U \end{eqnarray*}$ enthalten? Dass du die $\begin{eqnarray*} v\in\mathcal V,~u\in\mathcal U \end{eqnarray*}$ nimmst ist zwar schön, bringt dich hier aber nicht weiter.

Das habe ich mich schon beim beweis auch schon gefragt. Im Script gesucht und hier steht, das für lineare Abbildungen gilt $\begin{eqnarray*} f(0) = 0 \end{eqnarray*}$ Entsprechens bildet Null auf Null ab. Oh kann das schon die Lösung sein?

Prüfen des Nullvektors
Gemäß Definition einer lineare Abbildung gilt, das $\begin{eqnarray*} f(0) = 0 \in S \end{eqnarray*}$

Zitat:

Zitat:

Original von Taladan Prüfen auf Additivität Sei $\begin{eqnarray*} a, b \in S \end{eqnarray*}$ so gilt $\begin{eqnarray*} a + b = f(a_1) + f(b_1) = f(a_1+b_1) \end{eqnarray*}$ . Es folgt S ist additiv.

Nein, so wie es da steht folgt das nicht. Vielmehr: Seien $\begin{eqnarray*} v_1,v_2\in S \end{eqnarray*}$ , dann existieren $\begin{eqnarray*} u_1,u_2\in\mathcal U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(v_1)=u_1,~f(v_2)=u_2 \end{eqnarray*}$ . Folgere nun weiter die Abgeschlossenheit von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ bzgl. der Addition.

Ok neuer Versuch

Seien $\begin{eqnarray*} v_1, v_1 \in S \end{eqnarray*}$ , dann existieren $\begin{eqnarray*} u_1, u_2 \in U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(v_1) = u_1, f(v_2) = u_2 \end{eqnarray*}$ . So folgt das $\begin{eqnarray*} f(v_1+v_2) = u_1+u_2 = f(v_1) + f(v_2) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Zitat:

Original von Taladan Prüfen der Homogenitivität: Sei $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s \in S \end{eqnarray*}$ und a ein Skalar aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ , so folgt $\begin{eqnarray*} af(v) = as \end{eqnarray*}$

Das ist vollkommener Quatsch, überleg da nochmal (ähnlicher Ansatz wie oben).

Sei $\begin{eqnarray*} v_1 \in S \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ , dann existiert $\begin{eqnarray*} f(v_1) = u_1 \end{eqnarray*}$ . So folgt das $\begin{eqnarray*} au_1 = af(v_1) = f(av_1) \end{eqnarray*}$

PS: Was meinst du eigendlcih mit Abgeschlossenheit von S?

13.11.2010, 22:10

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis eines Unteraums einer Funktion

Zitat:

Original von Taladan
Das habe ich mich schon beim beweis auch schon gefragt. Im Script gesucht und hier steht, das für lineare Abbildungen gilt $\begin{eqnarray*} f(0) = 0 \end{eqnarray*}$ Entsprechens bildet Null auf Null ab. Oh kann das schon die Lösung sein?

Prüfen des Nullvektors
Gemäß Definition einer lineare Abbildung gilt, das $\begin{eqnarray*} f(0) = 0 \in S \end{eqnarray*}$

1. Dass eine lineare Abbildung die 0 auf die 0 abbildet ist nur eine Folgerung aus der Definition einer linearen Abbildung, f(0)=0 ist nicht Teil der Definition.

2. Dass f(0)=0 gilt liefert dir noch lange nicht, dass der Nullvektor in $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ enthalten ist, das ist er dann und nur dann, wenn $\begin{eqnarray*} 0\in \mathcal U \end{eqnarray*}$ gilt (nach Definition der Menge $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ), also: wieso gilt $\begin{eqnarray*} 0\in\mathcal U \end{eqnarray*}$ ?

Abgeschlossen bzgl der Addition bedeutet, das $\begin{eqnarray*} \forall v_1,v_2\in S \Rightarrow v_1+v_2\in S \end{eqnarray*}$ gilt.

Und das hast du damit auch nicht gezeigt, du schreibst da irgendwelche komischen Gleichungen auf von denen keiner weiß woher sie kommen und wieso das so gilt.

$\begin{eqnarray*} f(v_1)+f(v_2)=u_1+u_2 \end{eqnarray*}$ ist in Ordnung, für den Rest fehlen Begründungen.

Das selbe gilt für die Abgeschlossenheit bzgl. der skalaren Multiplikation. Du musst dir genaueres Arbeiten und Argumentieren angewöhnen.

13.11.2010, 23:17

Taladan

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis eines Unteraums einer Funktion
U ist ein Unterraum und deshlab muß die 0 vorhanden sein.

Warum soll die Formel denn nicht verständlich sein? Alles ist doch klar definiert. f ist die Formel, u1 und 2 sind Teile von U, v1 und 2 von S und die Formel ist doch lediglich die unterschiedlichen "Schreibweisen" bzw "Ausrechnungsstadien" . Angefangen bei den Elementen von s bis hoch zu V. Ich muß doch nur die Unterraumkriterien beweisen, oder ist das falsch? Zumindest versuche ich das die ganze Zeit...

14.11.2010, 09:59

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann formulier ich es anders.

Du schreibst Gleichungen dahin die durchaus richtig sind, zeigst damit aber nicht, dass $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ein Unterraum ist.

Was willst du mit $\begin{eqnarray*} f(v_1)+f(v_2)=u_1+u_2=f(v_1+v_2) \end{eqnarray*}$ zeigen? Du musst das, was du zeigen willst genau aufschreiben und auch dementsprechend begründen. Bisher ist nur gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} 0\in S \end{eqnarray*}$ ist, es fehlt noch die Abgeschlossenheit von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \forall v_1,v_2\in S,~a\in \mathbb K~\Rightarrow av_1+v_2\in S \end{eqnarray*}$ (was du natürlich auch in zwei Schritten zeigen kannst so wie du es bisher versucht hast).

14.11.2010, 11:15

Taladan

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der Addition muß ich doch zur zeigen das für $\begin{eqnarray*} u_1, u_2 \in U \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} u_1 + u_2 \in U \end{eqnarray*}$ . Zudem muß ich noch die Verbindung zu V aufzeigen, oder nicht?

Ich weiß echt nicht, wie man es richtig "zeigt". Muß ich mehr "Worte" dazu packen?

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} s_1,s_2 \in S \end{eqnarray*}$ , dann existeren $\begin{eqnarray*} u_1, u_2 \in U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(s_1) = u_1, f(s_2) = u_2 \end{eqnarray*}$ . Da f linear ist, folgt, $\begin{eqnarray*} u_1 + u_2 = f(s_1) + f(s_2) = f(s_1 + s_2) \end{eqnarray*}$ und damit folgt das $\begin{eqnarray*} u_1 + u_2 \in U \end{eqnarray*}$ ist. Es folgt S ist Additiv.

14.11.2010, 11:27

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Taladan
Bei der Addition muß ich doch zur zeigen das für $\begin{eqnarray*} u_1, u_2 \in U \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} u_1 + u_2 \in U \end{eqnarray*}$ .

Nein, das ist nämlich implizit schon vorausgesetzt, warum ist $\begin{eqnarray*} u_1+u_2\in \mathcal U \end{eqnarray*}$ ? Da gibt es nichts zu zeigen, vielmehr darfst du das direkt verwenden.

Zitat:

Original von Taladan
Sei $\begin{eqnarray*} s_1,s_2 \in S \end{eqnarray*}$ , dann existeren $\begin{eqnarray*} u_1, u_2 \in U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(s_1) = u_1, f(s_2) = u_2 \end{eqnarray*}$ . Da f linear ist, folgt, $\begin{eqnarray*} u_1 + u_2 = f(s_1) + f(s_2) = f(s_1 + s_2) \end{eqnarray*}$ und damit folgt das $\begin{eqnarray*} u_1 + u_2 \in U \end{eqnarray*}$ ist. Es folgt S ist Additiv.

Das ist jetzt schon besser, aber:

Es folgt nicht wegen der Linearität von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} u_1+u_2\in\mathcal U \end{eqnarray*}$ ist, das folgt aus einer Voraussetzung die du gegeben hast. Wenn du begründen kannst, wieso $\begin{eqnarray*} u_1+u_2\in \mathcal U \end{eqnarray*}$ gilt, folgt mit der Linearität von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_1+u_2=f(s_1)+f(s_2)=f(s_1+s_2) \end{eqnarray*}$ , dass dann auch $\begin{eqnarray*} s_1+s_2\in S \end{eqnarray*}$ gilt (auch hier ein kleiner Satz als Begründung, kurz die Definition von S dafür bemühen).

14.11.2010, 17:47

Taladan

Auf diesen Beitrag antworten »

Überall wo ich nachlese, hören die beweise an dieser Stelle auf. U_1+U_2 sind Element von U weil wieder ein Vektor aus U entsteht. Aber wie ich das beweisen kann, finde ich nirgends unglücklich

unglücklich

.

14.11.2010, 17:52

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Taladan
Oder genauer die ganze Aufgabe
Seien V und W Vektorräume über einem Körper IK, und seien U ein Unterraum von W.

Nochmal: du musst das nicht beweisen, $\begin{eqnarray*} \mathcal U \end{eqnarray*}$ ist bereits ein Unterraum, daher ist es klar, dass $\begin{eqnarray*} u_1+u_2\in\mathcal U \end{eqnarray*}$ ist. Was noch nicht klar ist: $\begin{eqnarray*} s_1+s_2\in S \end{eqnarray*}$ .

Seien $\begin{eqnarray*} s_1,~s_2\in S \end{eqnarray*}$ , dann existieren $\begin{eqnarray*} u_1,u_2\in\mathcal U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(s_1)=u_1,~f(s_2)=u_2 \end{eqnarray*}$ . Weiter gilt: $\begin{eqnarray*} f(s_1)+f(s_2)=u_1+u_2\in \mathcal U \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \mathcal U \end{eqnarray*}$ ein Unterraum (also insbesondere auch ein Vektorraum und deshalb abgeschlossen) ist.
Das einzige was jetzt noch fehlt ist die Begründung, warum dann auch $\begin{eqnarray*} s_1+s_2\in S \end{eqnarray*}$ ist (hier kannst du jetzt die Linearität von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ verwenden).

14.11.2010, 18:01

Taladan

Auf diesen Beitrag antworten »

Reicht dann der Zusatz?

Da f linear ist, folgt das $\begin{eqnarray*} s_1 + s_2 \in S \end{eqnarray*}$ liegt.

... Ne wohl nicht.

14.11.2010, 18:03

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du mir sagst, wieso das aus der Linearität folgt, dann ja Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.11.2010, 18:10

Taladan

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte jetzt versucht so zu argumentieren.

Da s_1 und s_2 aus linearkombinationen von <S> gebildet werden können, kann s_1+s_2 ebenfalls aus linearkombination von <S> gebildet werden.

Was aber wohl auch nicht das ist, was du lesen möchtest.

14.11.2010, 18:18

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist keine geeignete Begründung...

Warum sollte $\begin{eqnarray*} s_1+s_2 \end{eqnarray*}$ denn in unserer Menge $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ liegen? Einfach nur weil das eine Linearkombination ist? Solang die Menge unter der Addition nicht abgeschlossen ist, ist das eben nicht der Fall.

Wir haben bisher $\begin{eqnarray*} f(s_1)+f(s_2)\in\mathcal U \end{eqnarray*}$ gezeigt, jetzt ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung, also ist $\begin{eqnarray*} f(s_1+s_2)\in\mathcal U \end{eqnarray*}$ . Den letzten Schritt musst du jetzt aber mal machen, damit wäre dann gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} s_1+s_2\in S \end{eqnarray*}$ liegt.

14.11.2010, 18:27

Taladan

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, jetzt weiß ich was du meinst. Ich habe immer nach irgend einer begründung gesucht warum ein v_1 + v_2 ebenfalls in V liegt.

Meinst du evtl lediglich folgendes?

Sei $\begin{eqnarray*} s_1, s_2 \in S \end{eqnarray*}$ , dann exisitert $\begin{eqnarray*} u \in U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(s_1 + s_2) = u \end{eqnarray*}$ ?

14.11.2010, 18:32

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, darauf läuft das hinaus, allerdings solltest du das natürlich nicht einfach nicht so aus der Luft greifen sondern das bisher gezeigte einbeziehen.

14.11.2010, 18:35

Taladan

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Hilfe. nu muß ivh versuchen den Rest allein zu schaffen. Da die Aufgaben morgen abgeschickt werden müssen. Ich danke dir ganz doll für deine große Hilfe (und ich hatte zwischenzeitlich echt ein Brett vor dem Kopf).

14.11.2010, 18:45

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann noch als Tipp: die Abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation zeigst du im Prinzip genauso.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »