Potenzmenge

09.11.2010, 23:32

HappyFunny

Potenzmenge

Meine Frage:
Hey Leute,
ich komme hier bei einer Aufgabe einfach nicht weiter. Sehe auch einiege Unterschiede nicht.
Hier ersteinmal die Aufgabe:
Bemerkung: Q sei bei mir immer die leere Menge. (weiß anders nicht, wie ich es darstellen soll)

Es seien A={a,b,c} und B={M|M $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ A} die Potenzmenge von A.
Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

$\begin{eqnarray*} (a) a \in B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (b) \left\{a\right\} \in B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (c) \left\{a\right\} \in A \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (d) A\in B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (e) A\subseteq B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (f) \left\{a\right\} \subseteq B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (g) Q\in B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (h) Q \subseteq B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (i) \left\{Q\right\} \subseteq B \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also erstmal für mein Verständnis.
B ist also die Potenzmenge von A. Das heißt doch so viel wie:
B= P(A)= {Q {a}{b}{c}{ab}{ac}{bc}{abc}}

ABer was bedeutet jetzt genau B={M|M $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ A} ?
Heißt das jetzt, dass M eine ganz bestimmte Teilmenge ist? Oder ist das nur eine Formulierung, die man immer bei Potenzmengen so aufschreibt?
Und was ist genau der Unterschied zwischen {a} und normal a ??Ich verstehe das nicht. Wenn es so wäre sind dann meine folgenden Lösungen richtig?

(a)falsch
(b)falsch
(c)wahr
(d)falsch
(e)falsch
(f)falsch
(g)wahr
(h)wahr
(i)falsch

Und zu aller letzt noch eine Frage: Ist nicht jedes Element von B auch gleichzeitig Teilmenge von B??

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Stehe wirklich auf dem Schlauch.

10.11.2010, 00:24

lgrizu

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RE: Potenzmenge

Zitat:

Original von HappyFunny
Meine Frage:
Hey Leute,
ich komme hier bei einer Aufgabe einfach nicht weiter. Sehe auch einiege Unterschiede nicht.
Hier ersteinmal die Aufgabe:
Bemerkung: Q sei bei mir immer die leere Menge. (weiß anders nicht, wie ich es darstellen soll)

Es seien A={a,b,c} und B={M|M $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ A} die Potenzmenge von A.
Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

$\begin{eqnarray*} (a) a \in B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (b) \left\{a\right\} \in B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (c) \left\{a\right\} \in A \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (d) A\in B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (e) A\subseteq B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (f) \left\{a\right\} \subseteq B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (g) Q\in B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (h) Q \subseteq B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (i) \left\{Q\right\} \subseteq B \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also erstmal für mein Verständnis.
B ist also die Potenzmenge von A. Das heißt doch so viel wie:
B= P(A)= {Q {a}{b}{c}{ab}{ac}{bc}{abc}}

ABer was bedeutet jetzt genau B={M|M $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ A} ?
Heißt das jetzt, dass M eine ganz bestimmte Teilmenge ist? Oder ist das nur eine Formulierung, die man immer bei Potenzmengen so aufschreibt?

die formulierung $\begin{eqnarray*} B:=\left\{ M : M \subseteq A\right\} \end{eqnarray*}$ bedeutet B ist die menge, die die mengen m enthält für die gilt, m ist teilmenge von A, also die potenzmenge.

Zitat:

Original von HappyFunny
Und was ist genau der Unterschied zwischen {a} und normal a ??Ich verstehe das nicht.

a ist ein element, {a} ist eine einelementige menge.

Zitat:

Original von HappyFunny
Wenn es so wäre sind dann meine folgenden Lösungen richtig?

(a)falsch
(b)falsch
(c)wahr
(d)falsch
(e)falsch
(f)falsch
(g)wahr
(h)wahr
(i)falsch

du solltest dir die begriffe "element von" und teilmenge noch einmal zu gemüte führen, die antworten sehen aus, als wären sie erraten...

du hast doch oben die potenzmenge richtig aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} P(A)=\left\{ \emptyset, \left\{ a \right\}, \left\{ b \right\}, \left\{ c \right\}, \left\{ a,b \right\}, \left\{ a,c \right\}, \left\{ b,c \right\}, \left\{ a,b,c \right\} \right\} \end{eqnarray*}$

wie sehen die elemente dieser menge aus?
wie die teilmengen?

tip:
jedes element aus P(A) ist teilmenge von A.

Zitat:

Original von HappyFunny
Und zu aller letzt noch eine Frage: Ist nicht jedes Element von B auch gleichzeitig Teilmenge von B??

ein element einer menge ist niemals teilmenge derselben menge.

10.11.2010, 00:27

system-agent

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Über einige deiner Antworten musst du nochmal nachdenken. $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist bei dir die Potenzmenge und die Schreibweise dahinter definiert diese: Die Potenzmenge ist Menge, die als Elemente alle Teilmengen von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ enthält [beachte: die Elemente der Potenzmenge sind selbst Mengen].

Zum Beispiel ist das Element $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ enthalten, also $\begin{eqnarray*} b\in A \end{eqnarray*}$ ; dagegen ist das Element $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ nicht in $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ enthalten. Dafür gilt aber $\begin{eqnarray*} \{b\}\in B \end{eqnarray*}$ , denn dies ist die Menge, die das Element $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ enthält. Da $\begin{eqnarray*} \{b\} \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ per Definition die Menge aller Teilmengen ist, muss $\begin{eqnarray*} \{b\}\in B \end{eqnarray*}$ gelten.

Deshalb ist die Aussage (a) auch falsch, aber die Aussage (b) wahr.

Edit: Leicht zu spät Augenzwinkern

11.11.2010, 08:21

HappyFunny

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Ok, danke erstmal.
Ich habs jetzt noch mal überarbeitet.

$\begin{eqnarray*} (a) a \in B \end{eqnarray*}$ falsch
$\begin{eqnarray*} (b) \left\{a\right\} \in B \end{eqnarray*}$ wahr
$\begin{eqnarray*} (c) \left\{a\right\} \in A \end{eqnarray*}$ falsch
$\begin{eqnarray*} (d) A\in B \end{eqnarray*}$ falsch
$\begin{eqnarray*} (e) A\subseteq B \end{eqnarray*}$ wahr
$\begin{eqnarray*} (f) \left\{a\right\} \subseteq B \end{eqnarray*}$ falsch
$\begin{eqnarray*} (g) Q\in B \end{eqnarray*}$ wahr
$\begin{eqnarray*} (h) Q \subseteq B \end{eqnarray*}$ wahr
$\begin{eqnarray*} (i) \left\{Q\right\} \subseteq B \end{eqnarray*}$ falsch

Richtig?
Bei den letzten dreien also, g,h,i bin ich mir aber noch nicht ganz sicher. weil ich nicht weiß, wie es mit der leeren Menge ist.
Kann mir da nochmal wer helfen?

Danke

11.11.2010, 09:17

lgrizu

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du solltest dir auch bei den anderen noch nicht ganz sicher sein...

überlege noch einmal, schreib mal die elemente der potenzmenge auf....

die elemente der potenzmenge sind mengen....

dann überlege dir, ob es möglich ist, dass ein element einer menge auch gleichzeitig teilmenge derselben sein kann...

11.11.2010, 09:41

HAppyFunny

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Ich stehe grade echt auf dem schlauch.
Ich kann mir höchstens vorstellen, dass e und d getausch werden müssen.

Kannst du mir eventuell sagen, welche genau falsch sind und welche richtig?

11.11.2010, 09:52

lgrizu

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Zitat:

Original von HAppyFunny
Ich stehe grade echt auf dem schlauch.
Ich kann mir höchstens vorstellen, dass e und d getausch werden müssen.

Kannst du mir eventuell sagen, welche genau falsch sind und welche richtig?

das habe ich mir eben auch überlegt, kann aber zu missverständnissen führen, nämlich dem, ob deine antwort richtig bzw. falsch ist oder die aussage, die du beurteilen sollt:

also d und e "tauschen" ist nicht die verkehrteste idee...

dann beurteile ich deine antworten:

du hast h) noch falsch beantwortte, es ist richtig, dass die leere menge element von P(A) ist, aber sie ist keine teilmenge von P(A)

11.11.2010, 15:17

HappyFunny

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$\begin{eqnarray*} (a) a \in B \end{eqnarray*}$ falsch, weil a in {} geschrieben werden müsste somit ist (b) richtig
$\begin{eqnarray*} (b) \left\{a\right\} \in B \end{eqnarray*}$ wahr, Es handelt sich hier um eine Menge und diese ist in geschweiften Klammern geychrieben, daher war.
$\begin{eqnarray*} (c) \left\{a\right\} \in A \end{eqnarray*}$ falsch, weil a nur element von A ist aber keine Menge
$\begin{eqnarray*} (d) A\in B \end{eqnarray*}$ wahr
$\begin{eqnarray*} (e) A\subseteq B \end{eqnarray*}$ falsch
$\begin{eqnarray*} (f) \left\{a\right\} \subseteq B \end{eqnarray*}$ falsch
$\begin{eqnarray*} (g) Q\in B \end{eqnarray*}$ wahr
$\begin{eqnarray*} (h) Q \subseteq B \end{eqnarray*}$ wahr
$\begin{eqnarray*} (i) \left\{Q\right\} \subseteq B \end{eqnarray*}$ wahr

11.11.2010, 15:25

I orek

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Zitat:

Original von HappyFunny
$\begin{eqnarray*} (a) a \in B \end{eqnarray*}$ falsch, weil a in {} geschrieben werden müsste somit ist (b) richtig
$\begin{eqnarray*} (b) \left\{a\right\} \in B \end{eqnarray*}$ wahr, Es handelt sich hier um eine Menge und diese ist in geschweiften Klammern geychrieben, daher war.
$\begin{eqnarray*} (c) \left\{a\right\} \in A \end{eqnarray*}$ falsch, weil a nur element von A ist aber keine Menge
$\begin{eqnarray*} (d) A\in B \end{eqnarray*}$ wahr
$\begin{eqnarray*} (e) A\subseteq B \end{eqnarray*}$ falsch
$\begin{eqnarray*} (f) \left\{a\right\} \subseteq B \end{eqnarray*}$ falsch
$\begin{eqnarray*} (g) Q\in B \end{eqnarray*}$ wahr
$\begin{eqnarray*} (h) Q \subseteq B \end{eqnarray*}$ wahr
$\begin{eqnarray*} (i) \left\{Q\right\} \subseteq B \end{eqnarray*}$ wahr

Alles falsch!

11.11.2010, 19:00

lgrizu

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Zitat:

bis hierhin ist richtig, lass dich von dem troll nicht irritieren..

Zitat:

Original von HappyFunny
$\begin{eqnarray*} (h) Q \subseteq B \end{eqnarray*}$ wahr
$\begin{eqnarray*} (i) \left\{Q\right\} \subseteq B \end{eqnarray*}$ wahr

das hier solltets du noch mal überdenken....

dazu habe ich dir auch schon mal was geschrieben:

ist es möglich, dass "etwas" gleichzeitig element und teilmenge einer menge ist?

11.11.2010, 20:42

HappyFunny

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Ne nomalerweise nicht, aber ich habe jetzt irgendwie gehört, dass es bei der leeren Menge eine Ausnahme gibt. Kann das eventuell sein? Weil die leere Menge ist ja Element einer jeden Menge.
Hmm.., bin mir da echt nicht so sicher.
Falls das nicht stimmen solte, ist h richtig und i falsch. oder verwechsel ich das wieder?

Danke übrigens, für deine Hilfe smile

12.11.2010, 03:27

TommyAngelo

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In (h) ist die leere Menge, in (i) die Menge, die die leere Menge enthält, gemeint. Bringt dich das weiter?

12.11.2010, 07:46

lgrizu

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Zitat:

Original von HappyFunny
Ne nomalerweise nicht, aber ich habe jetzt irgendwie gehört, dass es bei der leeren Menge eine Ausnahme gibt. Kann das eventuell sein? Weil die leere Menge ist ja Element einer jeden Menge.

die leere menge ist teilmenge jeder menge, nicht element, g) ist also auch richtig, du solltest nur die letzte jetzt noch mal überdenken, siehe dazu tommys kommentar....

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