Potenzmenge, Ring

14.11.2006, 17:05

mareike_kuhn

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Potenzmenge, Ring

Sei X eine nicht leere Menge und P(X) die zugehorige Potenzmenge.
(a) Zeigen Sie, dass P(X) mit der Vereinigung als Operation + und dem Durchschnitt als Operation ° kein Ring ist.

Sei (P(X), +, °) eine Menge mit zwei Verknüpfungen. M ist ein Ring, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

(P(X), +) ist eine abelsche Gruppe,

(P(X), °) ist eine Halbgruppe,

es gilt das Distributivgesetz, d.h. für alle a, b, c M gilt
a·(b + c) = (a·b) + (a·c) sowie
(a + b)·c = (a·c) + (b·c).

Um zu zeugeb das es kein Ring ist muss doch dann einer von diesen Eigenschaften nicht gelten oder?

soll ich dann versuchen die einzelnen eigenschaften zu beweisen, wenn eines ein Wiederspruch zeigt heißt es doch das es kein ring ist.

Aber ich komm mit dem Begriff Potenzmenge durcheinander, ich hab es bis jetzt nur mit einfachen Mengen gemacht.

HAb ich was übersehen?
Was muss ich jetzut beachten?

Bitte um Hilfe??

MFG
Mareike

14.11.2006, 17:24

Sunwater

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genau - du musst einfach irgendein Axiom finden, dass verletzt ist und wenn du das angeben kannst, hast du keinen Ring mehr!

wo genau hast du denn mit der Potenzmenge Probleme? Hast du denn schon ein paar Axiome gezeigt bzw. widerlegt?

14.11.2006, 17:38

mareike_kuhn

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muss ich den was beachten weil es eine Potenzmenge ist, es ist doch keine normale Menge.

Ich hab es mal mit einer normalen menge gemacht, nicht aber mit einer Potenz Menge.

Da sind doch mehrere Mengen drin deswegen, wie soll ich das mit der Distributivgesetzt machen einfach die Elemente mal nehmen oder Die Mengen in der Potenzmenge.

Gruss Mareike

14.11.2006, 17:47

Sunwater

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Deine Potenzmenge besteht ja aus Elemente, komischer weise, was das verständnis immer n bisschen erschwert sind diese Elemente selber Mengen...

aber du musst ja z.B. zeigen, dass für $\begin{eqnarray*} a,b \in P \text{ gilt }a+b \in P \end{eqnarray*}$

dabei sei jetzt mal P die Potenzmenge, und a und b seien Elemente der Potenzmenge, also selber Mengen.

du weißt ja wie man zwei Mengen addiert... - du sollst die Vereinigung bilden...

das heißt, wenn du jetzt eine Menge aus der Potenzmenge mit einer anderen Menge aus der Potenzmenge vereinigst kommt ne Menge raus - ist die wieder in der Potenzmenge?

und so ungefähr musst du die anderen Axiome auch nachweisen, oder eins suchen, dass dann nicht stimmt

14.11.2006, 18:20

Mathespezialschüler

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Versuche mal, ein neutrales Element bzgl. $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ zu finden! Anschließend kannst du untersuchen, ob zu jedem $\begin{eqnarray*} a\in\mathcal P(A) \end{eqnarray*}$ auch ein Inverses existiert ...

Gruß MSS

14.11.2006, 18:20

mareike_kuhn

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(P(X),+) ist eine abelsche Gruppe

Komutativgestetz:

a + b = b + a für alle $\begin{eqnarray*} a,b \in P(X) \end{eqnarray*}$

Für jedes $\begin{eqnarray*} a \in P(X) \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} b \in P(X) \end{eqnarray*}$

a*b = b*a = e e = Neutralelement

Da es kein Inverses Element, bzw. Mengen in P(X) vorjanden sind, kann es sich hierbei nicht um einen abelschen Gruppe handeln.
Daraus folgt das P(X) kein Ring ist.

Ist es so richtig

Gruss Mareike

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14.11.2006, 18:59

Mathespezialschüler

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Und warum gibt es kein inverses Element? Und welche Menge ist überhaupt das neutrale Element?
Deine Begründung ist jedenfalls zu dürftig.

Gruß MSS

14.11.2006, 19:09

mareike_kuhn

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Zitat:

Und warum gibt es kein inverses Element? Und welche Menge ist überhaupt das neutrale Element?

keine ahnung hab bissel oberflächlich gedacht kannst du mir auf die sprünge helfen.

14.11.2006, 19:48

Mathespezialschüler

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Für welche Menge $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ gilt denn für bel. Mengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} A\cup B=A \end{eqnarray*}$ ?

Gruß MSS

14.11.2006, 22:58

mareike_kuhn

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Mit Menge $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ meinst du doch die Menge in der Potenzmenge ne.

Wenn das so ist dann ist doch $\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$ eine andere Menge in der Potenzmenge und das ist die Menge $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ , oder kann des denn sein.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} X = \{1,2,3\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X) = \{\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}, leere Menge\} \end{eqnarray*}$

Also
$\begin{eqnarray*} \{1\} \cup \{2\} = \{1,2\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A \cup B = AB \end{eqnarray*}$

14.11.2006, 23:00

mareike_kuhn

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ich glaub ich hab deine Frage nicht verstanden

14.11.2006, 23:09

Mathespezialschüler

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Was ist denn, wenn $\begin{eqnarray*} B=\varnothing \end{eqnarray*}$ ist? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

15.11.2006, 11:58

mareike_kuhn

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Klar es ist das Neutralelement, jetzt seh ich es.

und $\begin{eqnarray*} \varnothing \end{eqnarray*}$ und gleichzeitig hat diese Menge keinen Inverse Menge ne.

Kann man das so sehen

Gruss Mareike

15.11.2006, 17:03

Mathespezialschüler

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Doch, sie ist invers zu sich selbst. Aber wie sieht es denn für eine Menge $\begin{eqnarray*} A\neq\varnothing \end{eqnarray*}$ aus? Hat die ein Inverses?

Gruß MSS

15.11.2006, 19:20

mareike_kuhn

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Für P(X) mit Vereinigung ist leere Menge O das einzige Element mit einem inversen. $\begin{eqnarray*} \varnothing^{-1} = varnothing. \end{eqnarray*}$

Beweis: Es gilt zunächst O vereinigt mit $\begin{eqnarray*} \varnothing = \varnothing \end{eqnarray*}$ . Somit ist $\begin{eqnarray*} \varnothing zu varnothing \end{eqnarray*}$ invers. $\begin{eqnarray*} A\neq\varnothing \end{eqnarray*}$ Sei
in P(M). Es soll für ein A' gelten A vereinigt mit $\begin{eqnarray*} A' = \varnothing \end{eqnarray*}$ (da $\begin{eqnarray*} \varnothing \end{eqnarray*}$ neutral ist). Daraus folgt aus Mengenlehre $\begin{eqnarray*} A = A' = \varnothing \end{eqnarray*}$ , was ein Widerspruch zur Annahme ist.

Ich hab es mal so versucht zu beweisen, hab es in meinen unterlagen bissel rumgeguckt ist es so richtig oder fehlt da was??

15.11.2006, 20:00

Mathespezialschüler

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Das ist ok, so! Freude

Freude

Gruß MSS

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