Berechnen von Grenzwerten

11.11.2010, 12:24

wert12

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Berechnen von Grenzwerten

Meine Frage:
Hallo, ich bräuchte ein wenig Unterstützung bei der Berechnung von Grenzwerten. Ich hoffe das passt in diesen Bereich des Forums.
Aufgabe:
Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ ; n als Element der natürlichen Zahlen für:

$\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
lasse ich bei dieser Aufgabe nun n gegen unendlich gehen? einmal + unendlich und einmal - unendlich?

darf ich den term aufspalten in
lim = $\begin{eqnarray*} \frac{n}{n} + \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ?

dann liefe ja 1/n gegen 0
aber wohin konvergiert n/n ? meine idee war ich lasse n einmal gegen plus und einmal gegen minus unendlich konvergieren.
aber was überwiegt im ende? 0 oder + bzw - unendlich?

danke für eure hilfe

11.11.2010, 12:30

Iorek

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Eine Folge ist als Abbildung von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ (oder eine andere Zielmenge, hier sind es aber die reellen Zahlen) definiert, von daher ist mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{a\to\infty} a_n \end{eqnarray*}$ gemeint, -unendlich steht also gar nicht zur Wahl.

Und ja, du kannst den Bruch auseinander ziehen, denk auch ans kürzen.

11.11.2010, 17:34

wert12

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danke für deine antwort.

nach dem kürzen steht dann nur noch:

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty } a_{n} = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

und 1/n konvergiert gegen 0, oder?

11.11.2010, 17:36

Iorek

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Wie hast du denn da gekürzt? $\begin{eqnarray*} \frac nn=0 \end{eqnarray*}$ ? Überleg da nochmal etwas. Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.11.2010, 17:38

wert12

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ah...

$\begin{eqnarray*} 1+ \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

dann würde es ja nach 1 konvergieren ... oder?

11.11.2010, 17:39

Iorek

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Freude

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11.11.2010, 17:40

wert12

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juhuu

Big Laugh

danke

...

allerdings hätte ich da noch eine aufgabe

11.11.2010, 17:45

wert12

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$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{4n + 5n^{2} }{1+2n^{2}-7n } \end{eqnarray*}$

da weiß ich leider nicht wie ich anfangen soll ... n ausklammern um es dann zu kürzen?

11.11.2010, 17:46

Iorek

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Zitat:

Original von wert12
n ausklammern um es dann zu kürzen?

Ja, danach kannst du Grenzwertsätze anwenden.

11.11.2010, 17:50

baphomet

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$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{5n^2(1+\frac{4}{5n} ) }{2n^2(1-\frac{3,5}{n}+\frac{1}{2n^2} ) }<br /> \end{eqnarray*}$

11.11.2010, 17:53

Iorek

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Baphomet, ich hab jetzt 3 verschiedene Bruchversionen von dir gesehen, alle waren falsch, beim 4ten Versuch stimmt es endlich. unglücklich

unglücklich

Warum willst du überhaupt ausklammern, das ist eigentlich die Aufgabe von wert12.

11.11.2010, 17:58

baphomet

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Schnellere Lösung des Problems smile

smile

11.11.2010, 17:59

Iorek

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Dann würde ich dich gern ein weiteres mal auf Prinzip "Mathe online verstehen!" verweisen...

11.11.2010, 18:03

wert12

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geht alles gegen 0 ?

ich weiß dass allgemein $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{k}} \end{eqnarray*}$ gegen 0 geht . also wäre ja $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n^{2}} \end{eqnarray*}$ gegen 0

aber die anderen?

11.11.2010, 18:05

Iorek

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Welche anderen? Was hast du denn nach dem Kürzen da stehen? smile

smile

11.11.2010, 18:08

wert12

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wenn das ausklammern von baphomet stimmt, dann die zwei brüche:

4 / 5n
und
3,5 / n

oder nciht?

11.11.2010, 18:10

Iorek

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Was hast DU denn nach dem Ausklammern und kürzen da stehen? Was baphomet ausgeklammert hat steht erstmal nicht zur Debatte. Wie würdest du ausklammern und kürzen, was hättest du danach da stehen?

11.11.2010, 18:13

wert12

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ich hätte

$\begin{eqnarray*} \frac{n ( 4+ 5n) }{ n ( \frac{1}{n} + 2n -7) } \end{eqnarray*}$

das n kürzt sich weg.

1/n geht gegen 0

und 5n und 2n ?

11.11.2010, 18:14

Iorek

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So können wir den Grenzwert noch nicht berechnen, klammer lieber n² aus. smile

smile

11.11.2010, 18:19

wert12

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4/n +5

und unten:

1/n^2 + 2 - 7/n

11.11.2010, 18:21

Iorek

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Genau, $\begin{eqnarray*} \frac{\frac 4n+5}{\frac 1{n^2}+2-\frac 7n} \end{eqnarray*}$ bleibt stehen, jetzt können wir mit den Grenzwertsätzen weiter machen.

11.11.2010, 18:25

wert12

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1/n^2 geht gegen 0

4/n und 7/n müssten auch gegen 0 gehen

dann steht
dann geht der grenzwert im zähler gegen 0
und der im nenner gegen 2?

11.11.2010, 18:27

Iorek

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Geht der Zähler wirklich gegen 0? Oder bleibt nich doch noch etwas übrig? Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.11.2010, 18:28

wert12

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ja klar ... 5 smile

smile

11.11.2010, 18:31

Iorek

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Genau, also haben wir am Ende als Grenzwert?

11.11.2010, 18:31

wert12

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geht dann der grenzwert gegen 5/2 ?

11.11.2010, 18:33

Iorek

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Ja.

Freude

11.11.2010, 18:33

wert12

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juhu viele lieben dank für deine geduld & mühe

12.11.2010, 15:08

Lucas

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Hallo wert12,

glaube mir, das kann man im Kopf rechnen.
Ich gehe mal davon aus, das der Grenzwert für $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ gesucht ist.
Dein Bruch hat $\begin{eqnarray*} n^{2} \end{eqnarray*}$ als höchste Potenz.
Dividiere den Bruch doch mal durch $\begin{eqnarray*} n^{2} \end{eqnarray*}$ .
Im Kopf gerechnet kommt dann $\begin{eqnarray*} \frac{5}{2} \end{eqnarray*}$ raus.

L. G. Lucas

12.11.2010, 15:30

Lucas

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Hallo wert12,

das kann man im Kopf rechnen. Du suchst den Grenzwert für $\begin{eqnarray*} \mp \infty \end{eqnarray*}$
In deinem Bruch ist die höchste vorkommende Potenz $\begin{eqnarray*} n^{2} \end{eqnarray*}$ . Dividiere den Bruch durch $\begin{eqnarray*} n^{2} \end{eqnarray*}$ und du erhälst als
Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac{5}{2} \end{eqnarray*}$

L. G. Lucas

12.11.2010, 15:43

Iorek

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Und wenn du dir den gesamten Thread durchgelesen hättest, hättest du gesehen, dass genau das gemacht wurde. unglücklich

unglücklich

19.11.2010, 14:39

wert12

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mh grenzwerte sind echt nicht so meine stärke. hier mein neues problem:

gegeben ist eine rekursiv definierte folge

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \sqrt{2 + a_{n} } \end{eqnarray*}$

kann ich nun sagen dass der lim von $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ = a ist
sowie lim von $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ = a ist

daraus folgt

$\begin{eqnarray*} a = \sqrt{2 + a } \end{eqnarray*}$

und nun?

19.11.2010, 14:45

Iorek

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Du hast bestimmt noch mehr gegeben, welchen Wert hat $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ ?

Und direkt die Konvergenz annehmen darfst du natürlich nicht direkt annehmen, bisher wissen wir noch nicht ob die Folge konvergiert oder divergiert, da muss ein weiterer Schritt davor erfolgen.

19.11.2010, 14:51

wert12

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ao = 1
also ist a1 = $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

mh ... was für einen schirtt meinst du?

ich habe in den teilaufgaben davor nur bewiesen dass die folge monton steigend ist und eine obere schranke hat

19.11.2010, 15:03

Iorek

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Ok, dann liegt der Startwert bei $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ , den meinte ich.

Zitat:

Original von wert12
ich habe in den teilaufgaben davor nur bewiesen dass die folge monton steigend ist und eine obere schranke hat

Das ist der Schritt den ich meine, monoton und beschränkt liefert die Konvergenz.

Jetzt kannst du mit $\begin{eqnarray*} a=\lim\limits_{n\to\infty} a_n=\lim\limits_{n\to\infty} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ ansetzen, was dir $\begin{eqnarray*} a=\sqrt{2+a} \end{eqnarray*}$ liefert. Das ist eine Gleichung mit einer Variable, die solltest du lösen können. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.11.2010, 15:13

wert12

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ja das schon smile

smile

jetzt habe ich 2 und -1

ist der grenzwert zwei weil bei der folge alle n aus den natürlichen zahlen mit 0 stammen(laut angabe) ?

19.11.2010, 15:15

Iorek

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Du hast eine monoton steigende Folge mit Startwert 1, kann der Grenzwert also -1 sein? Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.11.2010, 15:16

wert12

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nicht so ganz smile

smile

dankeschön!

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