Vereinigung von Vektorräumen

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Legostein Auf diesen Beitrag antworten »
Vereinigung von Vektorräumen
Hallo, ich habe mir folgenden Vektorraum konstruiert: Das + ist als Index von R gemeint, ich wusste nicht wie ich das per Latex hinkriege.

Jetzt habe ich folgende Untervektorräume:



Wie schreibe ich die Vereinigung von U1 und U2 korrekt hin?
Das : (was in der Mengenklammer steht) wäre doch die durch die Untervektorräume aufgespannte XY-Ebene, also der Vektorraum V, oder?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vereinigung von Vektorräumen
Mach dir nochmal genau klar, was eine Vereinigung zweier Mengen ist. Liegt denn z.B. der Vektor in ?

Übrigens: Indizes machst du so: \mathbb R_{+}

Legostein Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, er liegt nicht drin! Dessen bin ich mir bewusst, ich wollte nur wissen, wie man ausführlicher hinschreibt, mit = {..}
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Hattest du nicht gefragt, ob die Vereinigung das gleiche wie V ist? Oder habe ich dich da falsch verstanden? Nun gut, Hauptsache es ist klar.

Übrigens: Sind V,U1 und U2 überhaupt Vektorräume? Welcher Körper soll denn zugrunde liegen? Vektorräume müssen auch abgeschlossen bzgl. Multiplikation mit einem Skalar sein.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Die Vereinigung ist doch schon klar, wenn du U1 und U2 vorher erklärst, ist auch klar, wie die Vereinigung von U1 und U2 aussieht.

Aber gut, das würde ich dann so schreiben:

Legostein Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, das wollte ich wissen! Damit möchte ich nun beispielhaft zeigen, dass "im Allgemeinen" kein Untervektorraum von V ist. Der Körper sollen auch die positiven Reelen Zahlen sein, damit müssten eigentlich die Axiome für einen Vektorraum V erfüllt sein.
Wobei ich beim ersten Überlegen gerade nicht sehe wo der "Fehler ist"... der Nullvektor ist enthalten, und die 2 anderen Bedingungen stimmen auch... oder ist das ein schlechtes Beispiel?
 
 
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vereinigung von Vektorräumen
Bilden die positiven reellen Zahlen überhaupt einen Körper? Wink
Legostein Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, ein Inverses gibt es nicht...? Also nein... gmrph, ich wollte doch nur ein kleines Beispiel dafür, dass die Vereinigung von Untervektorräumen im Allgemeinen nicht im Vektorraum liegt Hammer ...

Aber zur Sicherheit: Angenommen die positiven Reellen Zahlen wären ein Kröper, dann wäre die Vereinigung von U1 und U2 in dem Beispiel oben ein Untervektorraum von V, oder?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Legostein
ich wollte doch nur ein kleines Beispiel dafür, dass die Vereinigung von Untervektorräumen im Allgemeinen nicht im Vektorraum liegt

Du meinst ein Beispiel, dass die Vereinigung zweier Untervektorräume kein Untervektorraum ist?

Zitat:
Original von Legostein
Aber zur Sicherheit: Angenommen die positiven Reellen Zahlen wären ein Kröper, dann wäre die Vereinigung von U1 und U2 in dem Beispiel oben ein Untervektorraum von V, oder?

Das ist jetzt schon eine sehr hypothetische Überlegung. Schon V wäre dann ja gar kein Vektorraum. Aber ja, U1 und U2 würden zumindest die drei Kriterien für einen UVR erfüllen.
Legostein Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mulder
Zitat:
Original von Legostein
ich wollte doch nur ein kleines Beispiel dafür, dass die Vereinigung von Untervektorräumen im Allgemeinen nicht im Vektorraum liegt

Du meinst ein Beispiel, dass die Vereinigung zweier Untervektorräume kein Untervektorraum ist?


Genau!
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vereinigung von Vektorräumen
Betrachte zum Beispiel:







Ist die Vereinigung ein UVR von V?
Legostein Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, wenn ich z.B.den Vektor zum Vektor addiere, bin ich mit dem Vektor aus der Vereinigung von U1 und U2 raus.

Mir gelingt es jetzt nicht deinen Schritt bei meinem Beispiel oben, die Vereinigung in eine Mengenklammer zu schreiben, auf dieses Beispiel zu übertragen... kannst du das noch einmal hinschreiben? Damit würde ich dann gerne zeigen, dass 2 Vektoren addiert aus der Vereinigung rausführen.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vereinigung von Vektorräumen
Zitat:
Original von Legostein
Mir gelingt es jetzt nicht deinen Schritt bei meinem Beispiel oben, die Vereinigung in eine Mengenklammer zu schreiben, auf dieses Beispiel zu übertragen...



Zitat:
Original von Legostein
Damit würde ich dann gerne zeigen, dass 2 Vektoren addiert aus der Vereinigung rausführen.

Vorsicht, es ist ja nicht so, dass Addition grundsätzlich aus der Vereinigung rausführt. Der Nullvektor z.B. liegt ja in beiden UVR drin. Du musst nur zeigen, dass die Vereinigung im Allgemeinen nicht abgeschlossen bezügliche Addition ist. Und da reicht es, ein Gegenbeispiel konkret anzugeben. Das hast du getan, also bist du auch schon fertig.
Legostein Auf diesen Beitrag antworten »

OK, danke für die tolle Hilfe! smile
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