Permutationsgruppen

11.11.2010, 18:42

boro

Permutationsgruppen

Moin,

ich hab n Problem mit 2 Aufgaben und wäre froh, wenn ihr mir helfen könntet.

zu a)
so also Sn hat ja n! elemente, aber wieviele zyklen es gibt is doch abhänig davon wie groß k ist?

Leider fällt mir nichts ein zu wie ich zeigen dass jeder zyklus der länge k ....

zu b)
also die natürlich injektion ist 1->1 2->2 3->3 und so weiter
aber wie kann man dann zeigen das daraus injektive homomorphismen Sm -> Sn induziert werden?

schon mal danke fürs lesen
boro

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12.11.2010, 09:21

Reksilat

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RE: Permutationsgruppen
Hallo boro,

Zu a): Man kann die Anzahl allgemein in einer geschlossenen Form bezüglich k und n angeben.
Ein solcher Zyklus hat doch die Form $\begin{eqnarray*} (a_1a_2...a_k)\in S_n \end{eqnarray*}$
Nun überlege Dir, wie viele verschiedene Teilmengen $\begin{eqnarray*} \{a_1,a_2,...,a_k\}\subseteq I_n \end{eqnarray*}$ es gibt. Anschließend musst Du Dir nur noch überlegen, wie viele verschiedene Zyklen Du aus jeder dieser Mengen konstruieren kannst.

Zu b):
Wie würdest Du denn ganz naiv ein Element $\begin{eqnarray*} \pi\in S_m \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} S_m \end{eqnarray*}$ abbilden? Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

12.11.2010, 13:24

boro

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hi reksilat,

schon mal danke für deine antwort.

zu a)
also k muss ja mindest >= 2 sein und ist <n also ist die antwort

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\ 4 \end{pmatrix} + . . . + \begin{pmatrix} n \\ n-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

zu b)

einfach auf das selbe würde ich es abbilden und da m<=n heißt das es auch eine bijektion sein kann?

heißt also es sind homomorphismen weil es sich um die natürliche injektion handelt es also gar keine fehlstände gibt, so ungefähr? verwirrt

12.11.2010, 15:09

Reksilat

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Zu a):

Bei Dir taucht ja nicht mal ein k in der Formel auf. Außerdem kann k natürlich auch 1 oder n sein. Gehe doch mal auf meine Vorschläge ein.

Zu b):
Es ist doch aber nur $\begin{eqnarray*} m\leq n \end{eqnarray*}$ gegeben. Es hat also keinen Sinn, den Spezialfall m=n zu untersuchen.

Nimm Dir hier ein beliebiges Element $\begin{eqnarray*} a\in S_m \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} a:I_m\to I_m \end{eqnarray*}$ . Worauf würdest Du es abbilden? Verwende dazu auch die natürliche Injektion $\begin{eqnarray*} j:I_m\hookrightarrow{}I_n \end{eqnarray*}$

13.11.2010, 17:12

boro

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zu a)
ja hast wohl recht, hab die formel nun auch gefunden und verstanden es ist
$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n-k)!} \end{eqnarray*}$

so werden durch den nenner die anzahl rausgekürtzt die nicht zutrifft also

zb n=5 k =3

$\begin{eqnarray*} \frac{5*4*3*2*1}{2*1} \end{eqnarray*}$

ok nun zum zeigen

also gleich zu anfang wüsste ich nicht welches das neutrale element in einem zyklus sein soll..?
abelsch bzw kommutativ würde ja heißen man kann die glieder vertauschen, aber kommt dann nicht eine ganz andere permutation bei raus?

zu b)

a auf a

also wenn Sm weniger Elemente als Sn hat, können nur soviele Elemente abgebildet werden wie Sm hat ist es das?

gruß
boro

13.11.2010, 17:41

Reksilat

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Bei Deiner Formel stimmt noch etwas nicht. Das kann man übrigens auch ganz leicht sehen, indem man einfach mal ein Beispiel durchrechnet.
Bedenke auch, dass zum Beispiel die Zyklen $\begin{eqnarray*} (12345) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (34512) \end{eqnarray*}$ identisch sind.

Zitat:

also gleich zu anfang wüsste ich nicht welches das neutrale element in einem zyklus sein soll..?

Was das neutrale Element in einem Zyklus ist, weiß ich nicht. In der Symmetrischen Gruppe ist es aber die identität.

Zitat:

abelsch bzw kommutativ würde ja heißen man kann die glieder vertauschen, aber kommt dann nicht eine ganz andere permutation bei raus?

Welche Glieder? verwirrt

Nein, man kann verschiedene Elemente aus der von einem Zyklus erzeugten Untergruppe vertauschen. Letztlich ist das ein allgemeiner Fakt, der sowieso für alle zyklischen Gruppen gilt.
Zu zeigen ist hier vor allem, dass diese zyklische Gruppe und somit der Zyklus selbst die Ordnung k hat.

Zitat:

zu b)
a auf a

Nein. Wenn $\begin{eqnarray*} a\in S_m \end{eqnarray*}$ ist, so ist $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} I_m \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} I_m \end{eqnarray*}$ . Dies ist im allgemeinen kein Element von $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ . Es geht hier darum, formal eine Zuordnung zwischen Elementen aus $\begin{eqnarray*} S_m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ herzustellen. Dazu musst Du eben aus $\begin{eqnarray*} a:I_m\to I_m \end{eqnarray*}$ eine Abbildung $\begin{eqnarray*} a':I_n\to I_n \end{eqnarray*}$ konstruieren. - Dabei hilft eben die angegebene natürliche Injektion.

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