Permutationsgruppen |
11.11.2010, 18:42 | boro | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Permutationsgruppen ich hab n Problem mit 2 Aufgaben und wäre froh, wenn ihr mir helfen könntet. zu a) so also Sn hat ja n! elemente, aber wieviele zyklen es gibt is doch abhänig davon wie groß k ist? Leider fällt mir nichts ein zu wie ich zeigen dass jeder zyklus der länge k .... zu b) also die natürlich injektion ist 1->1 2->2 3->3 und so weiter aber wie kann man dann zeigen das daraus injektive homomorphismen Sm -> Sn induziert werden? schon mal danke fürs lesen boro [attach]16594[/attach] |
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12.11.2010, 09:21 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Permutationsgruppen Hallo boro, Zu a): Man kann die Anzahl allgemein in einer geschlossenen Form bezüglich k und n angeben. Ein solcher Zyklus hat doch die Form Nun überlege Dir, wie viele verschiedene Teilmengen es gibt. Anschließend musst Du Dir nur noch überlegen, wie viele verschiedene Zyklen Du aus jeder dieser Mengen konstruieren kannst. Zu b): Wie würdest Du denn ganz naiv ein Element nach abbilden? Gruß, Reksilat. |
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12.11.2010, 13:24 | boro | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hi reksilat, schon mal danke für deine antwort. zu a) also k muss ja mindest >= 2 sein und ist <n also ist die antwort ? zu b) einfach auf das selbe würde ich es abbilden und da m<=n heißt das es auch eine bijektion sein kann? heißt also es sind homomorphismen weil es sich um die natürliche injektion handelt es also gar keine fehlstände gibt, so ungefähr? |
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12.11.2010, 15:09 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Zu a): Bei Dir taucht ja nicht mal ein k in der Formel auf. Außerdem kann k natürlich auch 1 oder n sein. Gehe doch mal auf meine Vorschläge ein. Zu b): Es ist doch aber nur gegeben. Es hat also keinen Sinn, den Spezialfall m=n zu untersuchen. Nimm Dir hier ein beliebiges Element , also . Worauf würdest Du es abbilden? Verwende dazu auch die natürliche Injektion |
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13.11.2010, 17:12 | boro | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
zu a) ja hast wohl recht, hab die formel nun auch gefunden und verstanden es ist so werden durch den nenner die anzahl rausgekürtzt die nicht zutrifft also zb n=5 k =3 ok nun zum zeigen also gleich zu anfang wüsste ich nicht welches das neutrale element in einem zyklus sein soll..? abelsch bzw kommutativ würde ja heißen man kann die glieder vertauschen, aber kommt dann nicht eine ganz andere permutation bei raus? zu b) a auf a also wenn Sm weniger Elemente als Sn hat, können nur soviele Elemente abgebildet werden wie Sm hat ist es das? gruß boro |
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13.11.2010, 17:41 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Bei Deiner Formel stimmt noch etwas nicht. Das kann man übrigens auch ganz leicht sehen, indem man einfach mal ein Beispiel durchrechnet. Bedenke auch, dass zum Beispiel die Zyklen und identisch sind.
Was das neutrale Element in einem Zyklus ist, weiß ich nicht. In der Symmetrischen Gruppe ist es aber die identität.
Welche Glieder? Nein, man kann verschiedene Elemente aus der von einem Zyklus erzeugten Untergruppe vertauschen. Letztlich ist das ein allgemeiner Fakt, der sowieso für alle zyklischen Gruppen gilt. Zu zeigen ist hier vor allem, dass diese zyklische Gruppe und somit der Zyklus selbst die Ordnung k hat.
Nein. Wenn ist, so ist eine Abbildung von nach . Dies ist im allgemeinen kein Element von . Es geht hier darum, formal eine Zuordnung zwischen Elementen aus und herzustellen. Dazu musst Du eben aus eine Abbildung konstruieren. - Dabei hilft eben die angegebene natürliche Injektion. |
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