n-te einheitswurzel eine abelsche gruppe bzgl der multipl.

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jupp87 Auf diesen Beitrag antworten »
n-te einheitswurzel eine abelsche gruppe bzgl der multipl.
Meine Frage:
Wie zeige ich,dass n-te komplexe einheitswurzel eine abelsche Gruppe bilden bezüglich der multiplikation

Meine Ideen:
Kann ich sagen,dass wenn n gegen unendlich geht,mein beta gegen o geht?Wenn ja wie beweise ich die 4 axiome der abelsche gruppe denn ich brauche a,b,c und wie bekomm ich die?mit der definition des wurzelziehen einer komplexen zahl?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, zunächst schreibe mal die Definition der Einheitswurzel, vorzugsweise mit der Euler'schen Darstellung (Exponentialschreibweise).
Dann untersuche mit allgemeinen beliebig herausgegriffenen Einheitswurzeln die 5 Gruppenaxiome der kommutativen (=Abel'schen) Gruppe (Abgeschlossenheit, Assoziativgesetz, Neutrales -, Inverses Element, Kommutativgesetz).

n ist eine feste Zahl und soll nicht gegen unendlich gehen.

mY+
josey Auf diesen Beitrag antworten »
einheitswurzel in C
Die eigentliche Definition kenne ich nicht oder ist das
n-te wurzel Z =Z(0),Z(1),...,Z(n-1)
und in exponential schreibweise heißt
Edit (mY+): LaTex berichtigt.
(ῥ soll phi heißen)
was sind den allgemein beliebige einheitswurzeln?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Nachweis der Gruppeneigenschaft brauchst du nichts Weiteres als die Potenzgesetze für und . Warum?
josey Auf diesen Beitrag antworten »
n-te einheitswurzel
gute frage warum.ich komme nicht mehr ganz mit
Heißt des ich soll als z bzw w die exponential schreibweise mit unteschiedlichen winkeln also einmal mit phi und mal mit beta in die potenzgesetze einsetzen?und dann beweisen dass diese WAS sind?
Ich weiß nicht was ich machen soll.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

-te Einheitswurzeln sind komplexe Zahlen, nämlich die Lösungen der Gleichung



Offenbar löst diese Gleichung nicht. Einheitswurzeln sind also Elemente der multiplikativen Gruppe . Und damit gelten auch alle Axiome von für Einheitswurzeln. Somit ist nur noch die Untergruppeneigenschaft nachzuweisen, d.h. die Abgeschlossenheit der Menge der -ten Einheitswurzeln bezüglich der Multiplikation und der Inversenbildung. Tieferliegende Kenntnisse über die Geometrie oder sonstige Eigenschaften von Einheitswurzeln sind für die Belange dieser Aufgabe nicht vonnöten.

Und jetzt kannst du noch einmal überlegen, was ich mit dem Hinweis aus meinem vorigen Beitrag sagen wollte ...
 
 
jockel123 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
ich habe zu oben genannten Problem auch eine Frage:

Kann man nicht einfach sagen das die n-te Einheitswurzel allgemein als a+xi dargestellt werden kann? Dann kann man doch einfach drei komplexe Zahlen a+xi; b+yi; c+zi benutzen und die gültigkeit der Eigenschaften zeigen oder denke ich da jetzt zu einfach? verwirrt

Oder kann man einfach drei Beispiele benutzen z.B. 4-te Einheitswurzeln und daraus drei nutzen um die Beispiele zu beweisen wobei das auf das selbe rauskommen müsste.
jockel123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab jetzt einfach mal die drei Wurzeln genommen die bei 3-ten Einheitswurzeln rauskommen und alle Eigenschaften stimmen demnach. Genügt das um zu zeigen das auch die n-ten Wurzeln bezüglich der multiplikation eine abelsche Gruppe sind oder muss man das noch irgendwie allgemein zeigen. (Die eulersche Darstellung kann ich nicht verwenden)
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