Gruppen, Untergruppen, etc

12.11.2010, 14:51

leokraft

Gruppen, Untergruppen, etc

Meine Frage:
Es seien (G, °) eine endliche Gruppe, $\begin{eqnarray*} H \subset G \end{eqnarray*}$ eine beliebige Untergruppe und $\begin{eqnarray*} x \in G \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie:
(a) Die Abbildung $\begin{eqnarray*} j_{x}: G \mapsto G, g \mapsto x ° g ° g^{-1} \end{eqnarray*}$ ist ein Automorphismus von G.
(b) Die Menge $\begin{eqnarray*} x ° g ° x^{-1} := \left\{ x ° g ° x^{-1} | g \in H\right\} \end{eqnarray*}$ ist eine Untergruppe von G. Es gilt ferner $\begin{eqnarray*} |H| = |x ° H ° x^{-1}|.<br /> (c) Ist [latex]|H| = k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |G| = 2k \end{eqnarray*}$ , so ist H ein Normalteiler in G.

Meine Ideen:
Ich habe bereits (a) bewiesen, aber sehr unschön. Bei (b) und (c) fehlt mir jeder Ansatz. In der Uni wird das zwar verlangt, man wird aber leider kaum darauf vorbereitet...

Wie geht man an so etwas heran?

12.11.2010, 14:53

leokraft

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Hier nochmal mit richtiger Formatierung:

Es seien (G, °) eine endliche Gruppe, $\begin{eqnarray*} H \subset G \end{eqnarray*}$ eine beliebige Untergruppe und $\begin{eqnarray*} x \in G \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie:
(a) Die Abbildung $\begin{eqnarray*} j_{x}: G \mapsto G, g \mapsto x ° g ° g^{-1} \end{eqnarray*}$ ist ein Automorphismus von G.
(b) Die Menge $\begin{eqnarray*} x ° g ° x^{-1} := \left\{ x ° g ° x^{-1} | g \in H\right\} \end{eqnarray*}$ ist eine Untergruppe von G. Es gilt ferner $\begin{eqnarray*} |H| = |x ° H ° x^{-1}| \end{eqnarray*}$ .
(c) Ist $\begin{eqnarray*} |H| = k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |G| = 2k \end{eqnarray*}$ , so ist H ein Normalteiler in G.

14.11.2010, 17:29

AconcaguaK2

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Die b) würde mich auch mal interessieren, ich hab soweit bewiesen, dass das neutrale Element in H ist, aber dann hörts auch schon wieder auf

14.11.2010, 17:31

AconcaguaK2

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Achja du hast die b) falsch gepostet es ist ein H statt dem g, so is es richtig:

(b) Die Menge $\begin{eqnarray*} x ° H ° x^{-1} := \left\{ x ° g ° x^{-1} | g \in H\right\} \end{eqnarray*}$ ist eine Untergruppe von G. Es gilt ferner $\begin{eqnarray*} |H| = |x ° H ° x^{-1}| \end{eqnarray*}$ .

14.11.2010, 18:18

leokraft

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Zitat:

Original von AconcaguaK2
Die b) würde mich auch mal interessieren, ich hab soweit bewiesen, dass das neutrale Element in H ist, aber dann hörts auch schon wieder auf

Mich auch, vor allem die Abgeschlossenheit bereitet mir Schwierigkeiten.

14.11.2010, 18:21

kiste

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Die Abgeschlossenheit ist doch nahezu trivial. Wie sehen zwei beliebige Elemente aus H aus? Wie sieht deren Produkt aus?

14.11.2010, 18:32

AconcaguaK2

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Ich muss doch nur zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} e \in x \cdot H \cdot x^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a,b \in x \cdot H \cdot x^{-1} \Rightarrow a\cdot b \in x \cdot H \cdot x^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^{-1} \in x \cdot H \cdot x^{-1} \end{eqnarray*}$

Was ist abgeschlossenheit?!

14.11.2010, 18:34

leokraft

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Zitat:

Original von kiste
Die Abgeschlossenheit ist doch nahezu trivial. Wie sehen zwei beliebige Elemente aus H aus? Wie sieht deren Produkt aus?

z.B. so:

$\begin{eqnarray*} a = x \circ g_{1} \circ x^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b = x \circ g_{2} \circ x^{-1} \end{eqnarray*}$

Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} a \circ b = x \circ g_{1} \circ x^{-1} \circ x \circ g_{2} \circ x^{-1} = x \circ g_{1} \circ g_{2} \circ x^{-1} \end{eqnarray*}$

Aber was nützt mir das?

14.11.2010, 18:36

kiste

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Das ist der Beweis Big Laugh