Gleichmächtigkeit von Mengen und Potenzmengen

12.11.2010, 23:43

Ryu

Gleichmächtigkeit von Mengen und Potenzmengen

Hallo!

Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen bei meinen Aufgaben und mich korrigieren.

1) Beweisen Sie, das die folgenden Menge M1 und M2 jeweils gleichmächtig sind, indem sie eine bijektive Abbildung f: M1 -> M2 angeben.
a) M1 = $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ , M2 = { $\begin{eqnarray*} n:n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , n ist gerade}
b) M1 = $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ , M2 = { $\begin{eqnarray*} n:n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , n $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 2781}

2) Seien M1 und M2 gleichmächtig. Beweisen Sie, dass dann auch Pot(M1) und Pot(M2) gleichmächtig sind.

Zu 1a)
Hier wollte ich euch fragen, ob alles verständlich ist und mathematisch richtig aufgeschrieben ist.
Vorraussetzung: M1 = $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ , M2 = { $\begin{eqnarray*} n:n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , n ist gerade}
Behauptung: f: M1 -> M2 ist bijektiv.
Beweis: Sei $\begin{eqnarray*} x \in M1 \end{eqnarray*}$ . Dann ist f(x)=n und n=2x
Surjektivität:
Sei $\begin{eqnarray*} 2x \in M2 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} f^{-1} =x \end{eqnarray*}$
Injektivität:
Sei $\begin{eqnarray*} x,y \in M1 \end{eqnarray*}$ . Dan ist f(x)=2x und f(y)=2y.

f ist also bijektiv und somit sind die Mengen gleichmächtig.

qed.

Zu 1b)
Ist es nicht eigentlich fast dieselbe Lösung wie a1)?
Kann ich dann sagen, dass f(x)=2781+x ist? Der Beweis wäre ja dann derselbe.

Zu 2)
Da hätt ich jetzt gedacht, dass wenn die Mengen gleichmächtig sind, sind die Potenzmengen davon natürlich auch gleichmächtig. Aber ich soll es ja beweisen.
Wie beweist man denn die Bijektivität zwischen 2 Potenzmengen?

Schon mal vielen Dank.

13.11.2010, 13:07

Elvis

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Bei 1a) kann man vieles besser machen. Voraussetzung schreibt sich mit einem r. Die Behauptung "f ist bijektiv" kannst du erst aufstellen, nachdem du f definiert hast. Deine Definition kommt ziemlich umständlich erst im Beweis. Für die Definition einer Abbildung gibt es eine eindeutige mathematische Notation, die hier so aussieht: $\begin{eqnarray*} f:M_1\to M_2, x\to 2x \end{eqnarray*}$ . Surjektivität : $\begin{eqnarray*} f^{-1}=x \end{eqnarray*}$ ist eine sehr unsaubere Schreibweise, lediglich die Idee dahinter wird deutlich. Die Injektivität hast du noch gar nicht bewiesen.

Wenn du 1a) sauber aufschreibst, dann geht 1b) analog.

ZU Aufgabe 2 : Die Potenzmengen sind genau dann gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen ihnen gibt. Zum Beweis musst du also wie in Aufgabe 1 eine Abbildung $\begin{eqnarray*} F: Pot(M_1)\to Pot(M_2) \end{eqnarray*}$ konstruieren und beweisen, dass F bijektiv ist. Dies ist offenbar eine Abbildung von Teilmengen von M1 auf Teilmengen von M2, und du kannst voraussetzen, dass eine bijektive Abbildung $\begin{eqnarray*} f:M_1\to M_2 \end{eqnarray*}$ existiert .

13.11.2010, 14:12

Ryu

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Ok.. Bei Surjektiv hatte ich was vergessen... Wäre es dann so besser?
Und was mir noch auffällt... Es ist geschickter, wenn ich m und n nehme, anstatt x und n, oder?

Voraussetzung: M1 = $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ , M2 = { $\begin{eqnarray*} n:n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , n ist gerade}
Behauptung: f: M1 -> M2 ist bijektiv.
Beweis: Sei $\begin{eqnarray*} m \in M1 \end{eqnarray*}$ . Dann ist f(m)=n und n=2m

f ist Bijektiv, wenn f gleichzeitig Surjektiv und Injektiv ist.

Surjektivität:
f ist Surjektiv, wenn $\begin{eqnarray*} \forall n\in M2 \end{eqnarray*}$ es ein $\begin{eqnarray*} m\in M1 \end{eqnarray*}$ gibt mit f(m)=n
Sei $\begin{eqnarray*} 2m \in M2 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} f^{-1}(2m)=m \end{eqnarray*}$

Injektivität:
f ist injektiv, wenn $\begin{eqnarray*} \forall m1,m2\in M1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m1\neq m2 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f(m1)\neq f(m2) \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} l,m \in M1 \end{eqnarray*}$ . Dann ist f(l)=2l und f(m)=2m und somit ist $\begin{eqnarray*} l\neq m \end{eqnarray*}$ , also auch $\begin{eqnarray*} f(l)\neq f(m) \end{eqnarray*}$

13.11.2010, 18:19

Elvis

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Es wird schon ein bißchen besser. Noch besser wäre (Musterlösung) :

Behauptung: $\begin{eqnarray*} f: M_1=\mathbb N \to M_2=\{ n \in\mathbb N|n \end{eqnarray*}$ ist gerade $\begin{eqnarray*} \} , x \to 2x \end{eqnarray*}$ ist bijektiv
Beweis:
surjektiv: $\begin{eqnarray*} y\in M_2\Rightarrow y=2x=f(x) \end{eqnarray*}$
injektiv: $\begin{eqnarray*} x_1\neq x_2\Rightarrow f(x_1)=2x_1\neq 2x_2=f(x_2) \end{eqnarray*}$ q.e.d.

Vorteile dieser Musterlösung:
1. Die (bijektive) Funktion f wird in ordentlicher Notation in der Behauptung definiert. Im Beweis kann man sich darauf beziehen.
2. Die Bezeichnungen sind durchgängig einheitlich gewählt und mit der allgemein üblichen Schreibweise $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ verträglich. Der unnötige Bezug auf die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ wird vermieden.

15.11.2010, 19:12

KinueAkachi

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Ryu: MafIA I ?

15.11.2010, 21:36

hansi2010

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Zitat:

Original von KinueAkachi
Ryu: MafIA I ?

MafIA I Göttingen?^^