Beweis eines Homomorphismus

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Sebastian R. Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis eines Homomorphismus
Hey Leute,

mal eine grundlegende Frage zu Gruppenhomomorphismen. Angenommen ich habe eine Abbildung , die von einer Gruppe auf die selbe Gruppe abbildet.

Ich soll beweisen, dass diese Abbildung ein Gruppenhomomorphismus ist. Allgemein dazu heißt die Voraussetzung, damit dies stimmt:



Soweit so gut. Mein Problem liegt jetzt darin: Es wurde keine Aussage gemacht, ob die Gruppe G abelsch ist oder nicht. Ich brauche jedoch, um den Homomorphismus zu beweisen, die Kommutativität der Gruppe G.

Reicht es jetzt, zu sagen: Wenn G abelsch ist, dann gilt ... und somit ist die Abbildung ein Gruppenhomomorphismus, ansonsten nicht?

Schonmal herzlichen Dank,

Sebastian
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis eines Homomorphismus
es ist auch irrelevant, ob die gruppe abelsch ist, wenn sie nicht abelsch ist, so ist

du solltest die aufgabe mal vollständig hinschreiben, denn es gibt auch homomorphismen zwischen nicht abelschen gruppe, bei abelschen gruppen G und H bildet die menge der homomorphismen von G nach H wieder eine (abelsche) gruppe....
Sebastian R. Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Igrizu,

die Aufgabenstellung lautet wie folgt: Zeigen Sie: Wenn eine Gruppe und ein beliebiges Gruppenelement ist, so ist



ein Homomorphismus.

Die Sache ist: Grundsätzlich sieht das ja einfach aus. Da G eine Gruppe ist, kann man die Abbildung zu der Form vereinfachen, wenn G abelsch ist (Kommutativität). Oder sehe ich da etwas nicht?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

wie habt ihr definiert?

ist das das inverse zu g?
Sebastian R. Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist das inverse Element zu .
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

na dann ist das doch kein problem:



nun ist es fast vollbracht, durch was kann man das e (welches das neutrale element der gruppe sein soll) ersetzen?
 
 
Sebastian R. Auf diesen Beitrag antworten »

Na klar, dann kann man ja mit ersetzen und hat effektiv .

Zwar war mir die Idee mit dem neutralen Element auch schon gekommen, aber ich habe den letzten Schritt nicht gesehen (also, dass es auch ohne Umformen geht). Herzlichen Dank!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

wenn noch fragen sind, melden, ansonsten schönes wochenende
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