abelsche Gruppen

13.11.2010, 22:41

Brosinski

abelsche Gruppen

Zeigen Sie, dass die Menge A:=R ohne -1 mit der Verknüpfung
x°y := xy + x + y (x,y € A) zu einer abelschen Gruppe wird.

Also muss ich ja zuerst die Gruppeneigenschaften assoziativ, neutrales Element und inverses beweisen:

assoziativ:
(xy+x)+y = xy+(x+y)
<=> xy+x+y=xy+x+y
damit wäre das nachgewiesen

neutrales Element ist bei einer Addition immer 0

da xy+x+y+(-xy-x-y)=0
ist -xy-x-y das Inverse Element

abelsch:
xy +x+y
=xy+y+x
=x+xy+y
=x+y+xy
=y+xy+x
=y+x+xy

damit ist die gruppe abelsch

Meine Frage kann man das so machen? Ich bin mir nicht so sicher, ob ich das alles richtig verstanden habe.

Lösen Sie in (A,°) die Gleichung 3°x°x=15.

Mit der komm ich gar nicht zurecht, da bräuchte ich dringend nen Tipp.

13.11.2010, 22:49

Cugu

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Schreib mal hin, was es bedeutet, dass die Verknüpfung $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ assoziativ ist ohne für $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ die Definition einzusetzen!
Dann siehst du vielleicht, dass das nichts mit deiner Rechnung zu tun hat...

Bei Kommutativität und Inversen genauso.

Neutralität der $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ muss man nachrechnen!

Du musst noch zeigen, dass die innere Verknüpfung wohldefiniert ist!

Zitat:

Lösen Sie in (A,°) die Gleichung 3°x°x=15. Mit der komm ich gar nicht zurecht, da bräuchte ich dringend nen Tipp.

Setzte für $\begin{eqnarray*} 3\circ x\circ x=3\circ(x\circ x) \end{eqnarray*}$ die Definition ein und löse die quadratische Gleichung.

14.11.2010, 12:13

Brosinski

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Das müsste dann so aussehen, aber dann habe ich doch alles richtig gemacht. Wenn ich z als xy setze und ° als + schreibe, oder nicht?

(x°y)°z= x°(y°z)

14.11.2010, 12:51

Brosinski

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3°x°x=15 wäre dann
<=> 3°x² = 15
<=> x² =5
<=> x = +/- wurzel 5

stimmt das dann so, oder habe ich das falsch verstanden?

14.11.2010, 17:09

Cugu

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Wie kommst du darauf, dass du $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ einsetzen und dann $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ ersetzen musst? Das ist völliger Quatsch!

Du darfst $\begin{eqnarray*} a\circ b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R \setminus \{1\} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} ab + a + b \end{eqnarray*}$ ersetzen sonst nichts!

Das muss also
$\begin{eqnarray*} (x\circ y)\circ z= \underbrace{(xy + x + y)}_{a}\circ z=\underbrace{(xy + x + y)}_{a}z+\underbrace{(xy + x + y)}_{a}+ z=... \end{eqnarray*}$
heißen!

Zitat:

3°x°x=15 wäre dann
<=>3°x² = 15 <=> x² =5

Das ist falsch! Warum sollte das stimmen? Das $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ ist doch kein Malzeichen!

14.11.2010, 18:11

mrmiraculix

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Das hast du falsch verstanden. Rechne einfach immer eine Verknüpfung aus, das gibt dann eine Zahl. Mit dieser Zahl machst du dann die nächste Verknüpfung, usw. Außerdem ist der Kringel kein Mal-Zeichen, sondern bezieht sich auf die Verknüpfungsvorschrift.

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