Welches Zählprinzip

14.11.2010, 11:47

Suse_ratlos

Welches Zählprinzip

Hallo,

ich muss für folgenden Sachverhalt angeben, wie viele verschiedene Wahlergebnisse es geben kann. Dafür brauche ich dann natürlich die richtige Formel...

"Eine Menge von n Personen kann k Element (1, ..., n) verschiedene Kandidaten wählen, wobei alle Personen wählen müssen und genau eine Stimme besitzen."

Ich denke:
Es handelt sich hier ohne Zurücklegen und die Reihenfolge ist auch egal. D.h. n über k wäre die Lösung. Aber das erscheint mir zu einfach. Stimmt das denn? Falls nicht, wo liegt der Denkfehler?

Lg, Suse

14.11.2010, 13:15

BarneyG.

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Nein, das ist leider nicht die Lösung.

Du hast folgenden Fall beschrieben: Jeder der k-Kandidaten zieht sich einen Wähler ... ohne Zurücklegen ... und ohne Reihenfolge Big Laugh

Wir haben hier aber den Fall, dass die n Wähler aus den k Kandidaten ziehen ... und zwar MIT Zurücklegen, weil ein Kandidat mehrmals gewählt werden kann (und gewählt werden will Big Laugh

)

Die Reihenfolge ist unerheblich ...

Also ... n mal ziehen aus k Elementen ... mit Zurücklegen ... ohne Reihenfolge ... na, wie heißt denn die vermaledeite Formel bloß ... Big Laugh

14.11.2010, 13:32

Suse_ratlos

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Hallo,

das wäre dann:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} k+n-1 \\ n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Richtig?

Nun soll ich davon ausgehen, dass ein weitere Kandidat exisitiert und das "Verhältnis der bisherigen Formel für n und k und der für n und k+1 angeben.

Für k+1 gilt ja:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} k+n \\ n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Aber was it denn bitte das "Verältnis" der Formeln?

14.11.2010, 16:46

BarneyG.

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Zitat:

Original von Suse_ratlos
das wäre dann:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} k+n-1 \\ n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Richtig?

Goldrichtig! Big Laugh

Zitat:

Original von Suse_ratlos
Nun soll ich davon ausgehen, dass ein weitere Kandidat exisitiert und das "Verhältnis der bisherigen Formel für n und k und der für n und k+1 angeben.

Unter dem Verhältnis versteht man i.a. den Quotienten. In diesem Fall also

$\begin{eqnarray*} \frac{ \begin{pmatrix} k+n-1 \\ n \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} k+n \\ n \end{pmatrix}} \end{eqnarray*}$

Und wenn man jetzt noch ganz scharf hinguckt, dann sieht man, dass man diesen Ausdruck noch sehr schön vereinfachen kann ... (zur Kontrolle: die Binomialkoeffizienten verschwinden und man erhält einen einfachen Bruch!)

14.11.2010, 18:43

Suse_ratlos

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Was ist denn der Nenner als Fakultät umgeschrieben`?
Darin war ich noch nie gut... also Umwandlung der Binominalschreibweise -> Fakultätschreibweise unglücklich

14.11.2010, 20:40

BarneyG.

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Die Binomialkoeffizienten kann man wie folgt in einen Bruch umwandeln.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}= \frac{n!}{k! (n-k)!} \end{eqnarray*}$

Das wenden wir jetzt auf den Zähler des Quotienten aus deiner Aufgabe an:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} k+n-1 \\ n \end{pmatrix} = \frac{(k+n-1)!}{n! (k-1)!} \end{eqnarray*}$

Genauso formst du auch den Nenner um ... und dann kürzt du noch ein bissl ... und schon ist die Aufgabe gelöst ... Big Laugh

14.11.2010, 20:43

Suse_ratlos

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Hey...
ich komm trotzdem nich so ganz damit klar. Bisher denk ich es mir so:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} k+n \\ n \end{pmatrix}= \frac{(k+n)!}{n!(?)} \end{eqnarray*}$

14.11.2010, 20:49

BarneyG.

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Wenn ich mal das Fragezeichen auflösen darf ... Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} k+n \\ n \end{pmatrix}= \frac{(k+n)!}{n!(k+n-n)!} \end{eqnarray*}$

14.11.2010, 20:51

Suse_ratlos

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Ach quasi oben - unten, also
(k+n-1)-n=k-1 (für den ersten Binominalkoeffizienten)

Ich glaub jetzt ist es mir klar. Dankeschön smile

14.11.2010, 21:06

Suse_ratlos

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Gekürzt ergibt es dann:
k!/(k-1)! und das ist gekürzt 1/(k-1) oder?

Was mir nun doch unlogisch ist, lt. TW ist der erste Binominalkoeffizeit im Nenner k!*(n-1)! und nicht wie hier n!*(K-1)! ?!??

14.11.2010, 21:42

BarneyG.

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Zitat:

Original von Suse_ratlos
Gekürzt ergibt es dann:
k!/(k-1)! und das ist gekürzt 1/(k-1) oder?

Das ist leider beides nicht richtig.

Also erst mal ist k!/(k-1)! = k

Und zweitens werden wir nun den gesuchten Quotienten mal richtig berechnen:

$\begin{eqnarray*} \frac{ \begin{pmatrix} k+n-1 \\ n \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} k+n \\ n \end{pmatrix}} =\frac{\frac{(k+n-1)!}{n! (k-1)!}}{ \frac{(k+n)!}{n!(k+n-n)!}}=\frac{(k+n-1)!}{n! (k-1)!} \frac{n! k!}{(k+n)!} \end{eqnarray*}$

Und wenn du das jetzt noch richtig kürzt, indem du meinen Hinweis zu k!/(k-1)! befolgst, dann hast du die Aufgabe gelöst ... Big Laugh

14.11.2010, 21:45

Suse_ratlos

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k*(k+n-1)! / (k+n)!
= k * 1/(k+n)
?!

14.11.2010, 21:47

BarneyG.

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Yip!

Na also, geht doch! Freude

Ist doch ein sehr hübsches Ergebnis, oder etwa nicht? Big Laugh

14.11.2010, 21:49

Suse_ratlos

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Meinst du jetzt wirklich?

Also wirklich "schön" finde ich das nicht...
Vor allem, was soll denn das bitte mir jetzt sagen?

14.11.2010, 21:53

BarneyG.

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Das mit dem schönen Ergebnis meine ich bierernst! Big Laugh

Zitat:

Vor allem, was soll denn das bitte mir jetzt sagen?

Das Ergebnis sagt genau das aus, was wir berechnet haben. Wenn wir zu den k Kandidaten einen weiteren hinzufügen, dann verhalten sich die beiden Anzahlen der Wahlmöglichkeiten wie k : (k+n)

Das ist alles ... Big Laugh

15.11.2010, 08:05

Suse_ratlos

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Guten Morgen,

ich hab immer noch das Problem, dass in all meinen Aufzeichnungen statt
"n!(k-1)!" folgendes steht: "k!(n-1)!" (Nenner des ersten Binominalkoeffizienten)
Was ist denn nun warum richtig?

15.11.2010, 09:23

BarneyG.

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Ebenfalls "Guten Morgen"!

Also ich kenne jetzt deine Aufzeichnungen nicht. Aber ich vermute mal folgendes: In der Aufgabe mit den k Kandidaten und n Wählern sind n und k vertauscht. Hier wird nämlich n mal aus k Elementen gezogen.

Üblicherweise lauten solche Aufgaben aber "ziehe k mal aus n Elementen" ...

Aus diesem Grund sind gegenüber den herkömmlichen Formeln n und k in unserer Rechnung eben vertauscht.

Das könnte eine Erklärung sein. Ansonsten stell doch einfach die Rechnung gemäß deiner Aufzeichnungen hier ein ... dann kann man das genauer beurteilen.

15.11.2010, 09:45

Suse_ratlos

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Hallo,

achso... d.h. in dem Sinne ist die Formel, die ich hab schon richtig. Nur die Variablen sind hier quasi genau die anderen und deswegen die Vertauschung?
Aber unten steht ja trotzdem das "n" und nicht das "k"...
*confus*

Ich sollte das ganze jedenfalls für n=30 und k=4 berechnen und erhielt 33!/(29!4!)=40.920 Möglichkeiten.
Wenn das andere richtig wäre, würde sich ja ergeben 33!/(30!*3!) oder wie?

15.11.2010, 10:21

BarneyG.

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Zitat:

Ich sollte das ganze jedenfalls für n=30 und k=4 berechnen

Wir ziehen 30 mal aus 4 Urnen mit Zurücklegen ohne Reihenfolge.

$\begin{eqnarray*} N = \begin{pmatrix} 30 + 4 - 1 \\ 30 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 33 \\ 30 \end{pmatrix} = \frac{33!}{30!(33-30)!} = \frac{33!}{30!3!} =\frac{33 \cdot 32 \cdot 31}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 11 \cdot 16 \cdot 31 = 5.456 \end{eqnarray*}$

15.11.2010, 10:24

Suse_ratlos

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Okay danke!
Also so wie ich es als zweites dachte...
Jetzt muss ich nur noch kapieren, warum ich da diesen Denkfehler habe... *grübel*

15.11.2010, 11:14

Suse_ratlos

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Könnte mir jetzt jemand noch mal ganz blöd Schritt für Schritt erklären, warum aus ein und demselben Binominalkoeffizienten einmal (n-1)!*k! wird und das andere Mal (k-1)!*n!?

Nur, weil Fall 1 der Standardfall ist, also kmal aus n gezogen wird UND fall 2 "mein" Aufgabenfall ist und n mal aus k gezogen wird?

15.11.2010, 11:26

BarneyG.

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Also ... ich habe offen gestanden keinen Plan was du da rechnest ... verwirrt

Es gilt (nach wie vor) die folgende Umformung:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} k+n-1 \\ n \end{pmatrix} = \frac{(k+n-1)!}{n! (k-1)!} \end{eqnarray*}$

Und die Frage ist jetzt wie du auf (n-1)!k! kommst. Das ist nämlich etwas anderes. Stell deine Rechnung doch einfach mal hier ein ... dann sehen wir weiter ...

15.11.2010, 11:29

Suse_ratlos

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Hallo,

auf dieser Website ist die Fakultätsgleichung bei "ohne Wiederholung" so angegeben wie ich dachte.
Oder ist der BInominalkoeffizient mit dem wir hier die ganze Zeit arbeiten etwa nicht der dazugehörige? Falls nein, wie würde der denn dann aussehen?

15.11.2010, 13:02

BarneyG.

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Na, das ist doch genau die Formel mit der wir hier arbeiten:

Zitat:

Kombination mit Wiederholung

$\begin{eqnarray*} A = \frac{N+k-1}{(N-1)! k!} \end{eqnarray*}$

Dabei ist N die Anzahl der auswählbaren Elemente und k ist die Anzahl der Ziehungen.

In unserem Fall ist k die Anzahl der auswählbaren Elemente und n ist die Anzahl der Ziehungen.

Jetzt setzt du für N das k ein.
Und für k setzt du n ein.

Dann erhältst du

$\begin{eqnarray*} A = \frac{k+n-1}{(k-1)! n!} \end{eqnarray*}$

Und wenn ich mich recht entsinne, ist das exakt die Gleichung, die ich dir genannt habe. Big Laugh

Die Konfusion beruht tatsächlich darauf, dass eben in deiner Aufgabe n und k vertauscht sind. Aber die Nomenklatur war ja auch nicht meine Idee gewesen ... Big Laugh

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