Einfache Extremwertprobleme

14.11.2010, 16:39

xXDaveXx

Einfache Extremwertprobleme

Hallo zusammen, Ich bins wieder, der altbekannte Problemfall im Fach Mathe Big Laugh

.

Ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:

"Die Graphen von f und g mit $\begin{eqnarray*} f(x) = 4-0,25*x² \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) = 0,5*x²-2 \end{eqnarray*}$ begrenzen eine Fläche, der ein zur Y-Achse symmetrisches Rechteck einbeschrieben wird. Fur welche Lage der Eckpunkte wirdn sein Flächeninhalt extremal? Geben sie Art und Wert des Extremums an."

Ich habe leider gar keine Ahnung, was diese Aufgabe von mir will, also ich kommt mit den 2 Funktionen nicht klar

Danke schonmal für eure Hilfe

14.11.2010, 16:45

corvus

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RE: Einfache Extremwertprobleme

Zitat:

Original von xXDaveXx

"Die Graphen von f und g mit
$\begin{eqnarray*} f(x) = 4-0,25*x² \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} g(x) = 0,5*x²-2 \end{eqnarray*}$
Ich habe leider gar keine Ahnung ...
also ich kommt mit den 2 Funktionen nicht klar

kannst du denn die beiden Parabeln in einem
Koordinatensystem "sichtbar" machen?
.

14.11.2010, 17:12

xXDaveXx

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kann man das mit dem Formeleditor hier machen ?

15.11.2010, 08:58

klarsoweit

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RE: Einfache Extremwertprobleme

Zitat:

Original von xXDaveXx
Ich habe leider gar keine Ahnung, was diese Aufgabe von mir will, also ich kommt mit den 2 Funktionen nicht klar

Das mindeste, was du machen kannst, ist mal die Funktionen in ein Koordinatensystemn zu zeichnen:

Jetzt nimm mal eine Stelle a, die zwischen den x-Koordinaten der Schnittpunkte liegt, und überlege dir welche Koordinaten die 4 Punkte des Rechtecks haben müssen, wobei 2 der Punkte den x-Wert a haben.

16.11.2010, 17:41

xXDaveXx

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Ok, danke für deine Antwort, ist mir peinlich einzugestehen, aber ich wusste nicht wie ich mit den Funktionen einen Graphen zeichnen sollte Big Laugh

das ist kein Scherz. Ok, also die Eckpunkte. Also ich nehme mal als Stelle a -> $\begin{eqnarray*} a (-2/0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Eckpunkt A (-2/0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Eckpunkt B (2/0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Eckpunkt C (3/2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Eckpunkt D (3/-2) \end{eqnarray*}$

16.11.2010, 17:46

klarsoweit

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Also erstens ist die Stelle a kein Punkt, sondern eine Stelle auf der x-Achse.
Zweitens liegen die Punkte C und D auf keinem Funktionsgraph.
Und drittens bilden die Punkte A, B, C und D kein Rechteck.

16.11.2010, 18:49

xXDaveXx

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ach sry, war total neben der Spur :S ist es denn egal auf welche Stelle ich a auf der X achse setze? also mir ist klar, dass ich das zwischen die beiden Graphen setzen muss.

mit den Punkten ->

$\begin{eqnarray*} Eckpunkt A (-2/0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Eckpunkt B (2/0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Eckpunkt C (2/3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Eckpunkt D (-2/3) \end{eqnarray*}$

17.11.2010, 08:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von xXDaveXx
ist es denn egal auf welche Stelle ich a auf der X achse setze?

Erstmal ja. Zu der Stelle a bestimmst du die Funktionswerte f(a) und g(a). Daraus ergen sich 2 Eckpunkte des Rechtecks, nämlich (a; f(a)) und (a; g(a)). Da das ganze symmetrisch ist, nimmst du noch die Stelle -a und machst dasselbe. Dann kannst du für die Fläche des Rechtecks eine Formel (Funktion) aufstellen. Die Fläche ist irgendwie von a abhängig. Jetzt mußt du davon noch das Maximum bestimmen und fertig.

21.11.2010, 16:37

xXDaveXx

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Hallo und danke für deine Antwort. Entschuldigung für die späte Antwort, ich hatte viel stress in der Schule und war auch noch krank. Naja, ok ich habe verstanden was du meinst, jedenfalls teilweise Big Laugh

beim Ausrechnen der Fläche bin ich noch unsicher.

$\begin{eqnarray*} A(-a/g(-a)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B(a/g(a)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C(a(f(a)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D(-a/f(a)) \end{eqnarray*}$

Also die Formel für den Flächeninhalt kenne ich ja->

$\begin{eqnarray*} A=a*b \end{eqnarray*}$

also für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ kann man auch $\begin{eqnarray*} 2x \end{eqnarray*}$ einsetzen, da die Breite des Rechtecks vom Ursprung des Koordinatensystems nach Links und Rechts $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist. Und $\begin{eqnarray*} b= f(a)-g(a) \end{eqnarray*}$ ( weiß nicht ganz genau wieso, hab das i wo gelesen. Vielleicht kannst du mir das ja erklären, wäre nett smile

).

$\begin{eqnarray*} A(x) = 2x*(-0,25x²+4-(0,5x²-2)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A(x) = 2x*(-0,75x²+6) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A(x) = -1,5x³+12x \end{eqnarray*}$ -> Zielfunktion

Ableitungen
A(x) = -1,5x³+12x
A'(x)= -4,5x²+12
A''(x)= -9x

relatives Extrema : A'(x) = 0

-4,5x²+12 = 0 / : (- 4,5)
x²+ 2 2/3 = 0 / -2 2/3
x² = -2 2/3

x = 1,633 , x = -1,633

absolutes Extrema : A''(x) $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0

da wusste ich jetzt nicht weiter wie ich das genau machen soll

21.11.2010, 17:04

klarsoweit

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Zitat:

Original von xXDaveXx
Und $\begin{eqnarray*} b= f(a)-g(a) \end{eqnarray*}$ ( weiß nicht ganz genau wieso, hab das i wo gelesen. Vielleicht kannst du mir das ja erklären, wäre nett smile

Weil das nun mal die Höhe des Rechtecks ist, wie du leicht siehst, wenn du mal f(a) und g(a) ins Koordinatensystem einzeichnest.

Zitat:

Original von xXDaveXx
x²+ 2 2/3 = 0 / -2 2/3
x² = -2 2/3

Da hast du dich mit den Vorzeichen verhuddelt. Dir fällt nicht auf, daß das x² negativ sein soll?

Zitat:

Original von xXDaveXx
absolutes Extrema : A''(x) $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0

da wusste ich jetzt nicht weiter wie ich das genau machen soll

Berechne $\begin{eqnarray*} A''(\sqrt{\frac 8 3}) \end{eqnarray*}$ .

22.11.2010, 17:43

xXDaveXx

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Zitat:

Da hast du dich mit den Vorzeichen verhuddelt. Dir fällt nicht auf, daß das x² negativ sein soll?

-4,5x²+12 = 0 / : (- 4,5)
x²- 2 2/3 = 0 / +2 2/3
x² = 2 2/3
$\begin{eqnarray*} x = (\sqrt{\frac 8 3}), x = - \sqrt{\frac 8 3} \end{eqnarray*}$

so müsste das jetzt richtig sein oder?

Zitat:

Berechne $\begin{eqnarray*} A''(\sqrt{\frac 8 3}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A''(\sqrt{\frac 8 3}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A''(9* \sqrt{\frac 8 3}) \end{eqnarray*}$
A''(\sqrt{\frac 8 3}) = ca. 14,7
A''(-\sqrt{\frac 8 3}) = ca -14,7

bis jetzt alles richtig?

22.11.2010, 18:11

klarsoweit

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Fast. Beachte, daß A''(x) = -9x ist. Ja, ja, diese Vorzeichen. smile

22.11.2010, 18:20

xXDaveXx

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