lineare Unabhängigkeit

14.11.2010, 19:43

fikus

lineare Unabhängigkeit

Sei V ein K-Vektorraum, seien v1,..,vn linear unabhängige Vektoren in V, und sei

$\begin{eqnarray*} v=\sum\limits_{i=1}^n vi \end{eqnarray*}$

Zeigen sie,

(a) Die Vektoren v1,...,vn,v sind linear abhängig
(b) Je n der Vektoren v1,...,vn,v sind linear unabhängig

Ideen:

linear abhängig,wenn endlich viele linearkombinationen gibt span(v1,...,vn,v)
a*v1+...+b*vn+c*v=vektor aus v, wobei nicht a=b=c=0 sein darf.

linear unabhängig, wenn die Vekoren
a*v1+...+b*vn+c*v=0
mit a,b,c = 0

ich verstehe auhc nicht ganz was mit je n der vektoren.. gemeint ist

14.11.2010, 20:31

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: lineare Unabhängigkeit

Zitat:

Original von fikus
Sei V ein K-Vektorraum, seien v1,..,vn linear unabhängige Vektoren in V, und sei

$\begin{eqnarray*} v=\sum\limits_{i=1}^n vi \end{eqnarray*}$

Zeigen sie,

(a) Die Vektoren v1,...,vn,v sind linear abhängig

sollst du das wirklich zeigen? verwirrt

....das ist schon fast trivial:

$\begin{eqnarray*} v=\sum\limits_{i=1}^n vi=v_1+v_2+v_3+....+v_n \Rightarrow v_1+v_2+...+v_n-v=0 \end{eqnarray*}$

nun zu b)...

die vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,...v_n \end{eqnarray*}$ sind nach vorraussetzung linear unabhängig.

du sollst zeigen, dass, wenn du einen beliebeigen vektor herausnimmst und ihn durch v ersetzt, die vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,....,v_{i-1},v,v_{i+1},...,v_n \end{eqnarray*}$ ebenfalls linear unabhängig sind....

14.11.2010, 20:41

fikus

Auf diesen Beitrag antworten »

achso simpel ist teil a

d.h. ich muss zu (a) einfach nur eine linearkombination finden und die hast du ja schon dahin geschrieben?!

zu (b)

ich müsste dann ja zeigen, dass keiner der vektoren linearkombination der übrigen sind oder?!
also das ist auf jedenfall ein kriterium für lineare unabhängigkeit
aber das gilt für ein n größer gleich 2

mhh ... ist das irgendwie ein ansatz vllt ?

15.11.2010, 10:23

fikus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von fikus
achso simpel ist teil a

d.h. ich muss zu (a) einfach nur eine linearkombination finden und die hast du ja schon dahin geschrieben?!

ich glaube das müsste dann so aussehen

a*v1+b*v2+...+c*vn - d*v=0, wobei man alle koeffizienten gliech 1 wählen könnte.

15.11.2010, 12:19

fikus

Auf diesen Beitrag antworten »

wir haben also

v1,...,vi-1,v,vi+1,...,vn

wir wissen was v ist
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n vi \end{eqnarray*}$

koeffizienten seien a1,a2,...,ai-1,a,ai+1,...,an

--> 0= a1v1+a2v2+...+ai-1*vi-1+av+ai+1*vi+1+....+anvn

av kenn wir auch

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n aivi \end{eqnarray*}$

=a1v1+a2v2+...+anvn

damit müsste man irgendwas anfange können nur was...^^

15.11.2010, 17:44

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von fikus

av kenn wir auch

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n aivi \end{eqnarray*}$

=a1v1+a2v2+...+anvn

damit müsste man irgendwas anfange können nur was...^^

wieso ist $\begin{eqnarray*} av=\sum\limits_{i=1}^n a_iv_i \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} av=a \sum\limits_{i=1}^n v_i \end{eqnarray*}$ .....

betrachte einmal eine auswahl von n-1 vektoren aus der menge $\begin{eqnarray*} \left\{v_i \right\}, i=1,....,n \end{eqnarray*}$ , diese sind nach vorraussetzung linear unabhängig.

nun zeige, dass sich v nicht als linearkombination dieser vektoren darstellen lässt....

Neue Frage »

Antworten »

lineare Unabhängigkeit

Verwandte Themen