Linearkombination in C²

14.11.2010, 21:57

wichtigefragemathe

Auf diesen Beitrag antworten »

Linearkombination in C²

Meine Frage:
also, ich habe absolut keine ahnung, wie ich an folgende aufgabe herangehe, hat jmd einen lösungsweg/lsgansatz?
http://s7.directupload.net/images/101114/oib5z5om.jpg

Meine Ideen:
das thema hat erst neu angefangen, weiss nciht, wie ich da ranngehen soll...

14.11.2010, 22:01

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lindearkombination in C²

Zitat:

Original von wichtigefragemathe
hat jmd einen lösungsweg?

Mit Sicherheit. Aber den wird dir leider niemand verraten.¹

14.11.2010, 22:05

wichtigefragemathe

Auf diesen Beitrag antworten »

muss ja nciht, aber iein ansatz, irgendetwas...

14.11.2010, 22:17

MATHE4EVER1990

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Lösung der AUfgabe steht doch schon in der Aufgabenstellung.

14.11.2010, 22:24

MATHE4EVER1990

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist denn dein Ansatz? Denn ohne Ansatz können wir hier leider wenig für die tun, denn dann würde jeder faule Student hier einfach seine Aufgaben reinstellen und warten bis sie gelöst sind.

Das ist nicht der Sinn der Sache!

14.11.2010, 22:29

wichtigefragemathe

Auf diesen Beitrag antworten »

es gab noch eine aufgabe davor, die habe ich lösen können, die a sah so aus:

http://s7.directupload.net/images/101114/cbriusnw.jpg

wir sind 3 leute, aber wissen nun einfach nciht, wie man das überprüfen soll. ich meine C ist unendlich, das kann man doch net einfach in eine matrix packen und ausrechnen, oder doch?

Anzeige

14.11.2010, 22:32

MATHE4EVER1990

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ein Lösungsansatz wäre wirklich das Mindeste.

14.11.2010, 22:42

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

@MATHE4EVER1990
Warum habe ich das Gefühl, dass du ein Troll bist und hier nur rumspamst?

Der Fragesteller hat erklärt, dass er nicht weiß, wie er die Aufgabe angehen soll. Entweder du gibst jetzt konkrete Hilfestellung in Form eines kleinen Ansatzes oder du hältst dich raus aus diesem Thread.

15.11.2010, 00:17

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

@ wichtigefragemathe: Kennst du bereits die Determinante? Damit geht es sehr fix. Ansonsten ist es wirklich sehr ähnlich zu der anderen Aufgabe. Versuche, einen beliebigen Vektor aus dem C^2 als Linearkombi der angegebenen Vektoren darzustellen.

15.11.2010, 00:20

wichtigefragemathe

Auf diesen Beitrag antworten »

na das ist doch mal was =) ich habe dieses wohl mal kurz in einer vorlesung aufgeschnappt. aber ncoh nie mit ihr iwas gemacht, ich schaue mir jetzt mal an, was man damit machen kann, danke =)

15.11.2010, 01:16

wichtigefragemathe

Auf diesen Beitrag antworten »

okay, ich kann nciht mehr editieren, also hier.
ich habe das system nun mittels der determinanten gelöst. herraus kommt:

7+5i != 0, damit sind alle Vectoren aus C² als Linearkombination über C bzw. über R von v1,v2 darstellbar.
Es ist eindeutig lösbar.

richtig so?

15.11.2010, 01:40

Cugu

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

damit sind alle Vectoren aus C² als Linearkombination [...] über R von v1,v2 darstellbar

Du hast eine zweielementige Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb C^2 \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraum gefunden? Glückwunsch, du hast die Mathematik revolutioniert, oder da ist was falsch...

15.11.2010, 01:51

wichtigefragemathe

Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe es jetzt so gemacht, wie er da oben meinte ->

$\begin{eqnarray*} |A|=\begin{pmatrix} 2-1 & -i \\ 1 & 2+3i \end{pmatrix} <br /> |A|=(2-i)(2+3i)-(1)(-i)<br /> |A|=7+5i \neq 0 \end{eqnarray*}$

wie mache ich da weiter?

15.11.2010, 01:53

Cugu

Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor du weiter machst, überlege dir doch erstmal warum du das machst! Was prüfst du damit?

----

Gehen zwei Vektoren zur Drogenberatung:"Hilfe, Hilfe, wir sind linear abhängig!"

15.11.2010, 02:16

wichtigefragemathe

Auf diesen Beitrag antworten »

habe ich das richtig aufgefasst, dass die determinente ein faktor vor der matrix ist, welcher die aufgespannte figur um das "determinantenfache" verformt?

15.11.2010, 02:29

Cugu

Auf diesen Beitrag antworten »

Früher hat man so Vektoren auf lineare Unabhängigkeit überprüft...

Zitat:

habe ich das richtig aufgefasst, dass die determinente ein faktor vor der matrix ist, welcher die aufgespannte figur um das "determinantenfache" verformt?

Das ist nicht ganz falsch, aber in der Aufgabe gibt es zunächst mal keine Figuren.

Vielleicht sollten wir doch dabei bleiben:
Ist die Determinante gleich null, so sind die Vektoren linear abhängig.
Sonst sind sie linear unabhängig.

Was sagt dir das jetzt in Bezug auf die Aufgabe?

15.11.2010, 03:01

wichtigefragemathe

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, damit ist das ganze linear unabhängig.

auf die aufgabe, könnte man diese dann so hier schreiben?
da man die lineare unabhängigkeit mit xv1+xv2...=0 darstellen kann.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 7+5i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2-1 & -i & |0 \\ 1 & 2+3i & |0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

15.11.2010, 03:05

Cugu

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht, was du mir damit sagen willst.

---

Du kannst das übrigens auch so sehen:
Ein Gleichungssystem $\begin{eqnarray*} A\underline x=\underline b \end{eqnarray*}$ besitzt genau dann für alle $\begin{eqnarray*} \underline b\in \mathbb C^2 \end{eqnarray*}$ eine (eindeutige) Lösung $\begin{eqnarray*} \underline x \in \mathbb C^2 \end{eqnarray*}$ besitzt, wenn $\begin{eqnarray*} \det(A)\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist.

---

So oder so solltest du zu dem Schluss kommen, dass die Vektoren eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb C^2 \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ -Vektorraum bilden.

15.11.2010, 03:14

wichtigefragemathe

Auf diesen Beitrag antworten »

achso,
jau, das ist ne möglichkeit.
habe gemerkt, dass ich mich in das thema erst wieder einfitzen muss, hatte eineinhalb jahre pause.

vielen dank, dass du so lange auf warst und mir geholfen hast!
ist ja mittlerweile schon recht spät, das macht nciht jeder =)

vielen dank!

15.11.2010, 03:28

Cugu

Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit eindimensional darstellen?

Du hast doch zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} \underline v=\begin{pmatrix} 2-1\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \underline w=\begin{pmatrix} -i \\ 2+3i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Die erste Frage ist, kann man einen beliebigen Vektor $\begin{eqnarray*} \underline b=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ daraus über $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ linearkombinieren. Das heißt $\begin{eqnarray*} x_1,x_2\in \mathbb C \end{eqnarray*}$ finden, so dass $\begin{eqnarray*} x_1\underline v+x_2\underline w=\underline b \end{eqnarray*}$ gilt.

Nun kann man $\begin{eqnarray*} x_1\underline v+x_2\underline w=\underline b \end{eqnarray*}$ umschreiben als $\begin{eqnarray*} A\underline x=\underline b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 2-1 & -i \\ 1 & 2+3i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \underline x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Einfach mal nachrechnen!
Und über die Lösbarkeit des Gleichungssystems sagt dir die Determinante etwas.

Da die Determinate ungleich null ist, finden wir immer obige $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \end{eqnarray*}$ . Also lässt sich in der Tat jeder Vektor des $\begin{eqnarray*} \mathbb C^2 \end{eqnarray*}$ als Linearkombination von $\begin{eqnarray*} \underline v,\underline w \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ darstellen!
In dem Punkt hattest du also recht.

Aber wo ist der Haken bei der Frage, ob das auch über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ geht?

15.11.2010, 03:41

wichtigefragemathe

Auf diesen Beitrag antworten »

jau, klappt.
naja, der einzige unterschied zwischen den $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist das i und vor allem, dass i² = -1, oder lasse ich mcih da gerade irretieren?
im reellen ist x² + 1 = 0 nicht lösbar, ist das der haken?

15.11.2010, 03:50

Cugu

Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht direkt. Aber zumindest sagt dir das, dass es komplexe Zahlen gibt, die nicht reell sind. Was ist denn, wenn du so eine Zahl nimmst, z.B. $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} \underline b:=A\cdot \begin{pmatrix} i \\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ setzt? Kann dann $\begin{eqnarray*} \underline b \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ als Linearkombination von $\begin{eqnarray*} \underline v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \underline w \end{eqnarray*}$ dargestellt werden? Für die Antwort musst du das nicht einmal ausrechnen...

Beachte, dass $\begin{eqnarray*} A\underline x =\underline b \end{eqnarray*}$ nur eine Lösung besitzt!

------

Da es spät ist nehme ich es vorweg: Es geht natürlich nicht. Würde $\begin{eqnarray*} y_1\underline v+y_2\underline w=\underline b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y_1,y_2\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gelten, dann wäre $\begin{eqnarray*} \underline y=\begin{pmatrix} y_1\\ y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine weitere Lösung des Gleichungssystems $\begin{eqnarray*} A\underline x =\underline b \end{eqnarray*}$ . Eine Lösung kennen wir bereits, nämlich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} i \\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Da es zwei verschiedene nicht geben kann, ist das ein Widerspruch.

------

Man kann auch mit linearer Unabhängigkeit argumentieren:
Setze $\begin{eqnarray*} \underline x=\begin{pmatrix} i \\ i \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Aus $\begin{eqnarray*} A\underline x=\underline b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A\underline y=\underline b \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} A(\underline x-\underline y)=\underline 0 \end{eqnarray*}$ . Da die Spalten von A linear unabhängig sind (Definition nachgucken!) folgt daraus $\begin{eqnarray*} \underline x-\underline y=\underline 0 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} \underline x= \underline y \end{eqnarray*}$ , was ein Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} i\notin \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist.

15.11.2010, 04:08

wichtigefragemathe

Auf diesen Beitrag antworten »

hm okay, das geht nicht, wenn cih mcih nciht vertan habe. hm ich muss in 3h aufstehen, ich werde mal drüber schlafen und später das ganze erneut durchgehen.

hier nocheinmal vielen dank für deine hilfe und vorallem die geduld!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »