Beweis des Satzes von Frobenius

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MeliW84 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis des Satzes von Frobenius
Meine Frage:
Hallo,
ich habe Probleme mit folgendem Beweis:

Seien p eine Primzahl und K ein Körper, in dem p*1=0 gilt.
Beweisen sie, dass für alle a,b \in K gilt:



Meine Ideen:
Folgende Ansätze habe ich bereits:


Damit also das Ergebnis rauskommen kann, muss der mittlere "Summenterm" 0 sein.

Ich komm bloß nicht darauf, warum dieser 0 ist!
Bitte um Hilfe, bzw. Ansätze.
Danke.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Doppelpost zu http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=434068, ich habe den anderen geschlossen. Mein Tipp ändert sich deswegen aber nicht Augenzwinkern
MeliW84 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich die Summe ausschreibe, müsste das dann doch so aussehen:





edit:
Ich verstehe bloß immer noch nicht, warum die Klammer 0 sein soll. Irgendwie sitz ich auf dem Schlauch.

kiste: Bitte keine Doppelposts innerhalb von unter einer Minute. Du kannst auch editieren
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Mal davon abgesehen dass du falsch ausgeklammert hast, bleibt der Tipp gleich.
Du musst doch zeigen dass jeder der Binomialkoeffizienten durch p teilbar ist. Ausschreiben und beachten dass p prim ist!
MeliW84 Auf diesen Beitrag antworten »

Also, wenn ich den Binomialkoeffizienten ausschreibe, müsste das so aussehen:



Wieso muss jeder Binomialkoeffizient durch p teilbar sein, damit das alles 0 ist?

Bin ich so blöd oder tu ich nur so?? Oh Mann!
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Das muss nicht so sein, das ist aber hinreichend für deine Aussage! Den dann ist bereits jeder Summand 0, also auch die Summe 0.

Betrachte jetzt eben . Wie oft kommt p als Faktor im Zähler bzw. Nenner vor?
 
 
MeliW84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, wie oft es vorkommt (woran kann man das sehen?) , aber es ist doch so, dass p im Zähler gekürzt werden kann, im Nenner jedoch nicht.
Also soll der Zähler irgendiwe 0 werden.
Muss man im Zähler und im Nenner mit p kürzen? Aber wie kürzt man p! mit p? Und man kann ja eben den Nenner nicht mit p kürzen.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll kürzen im Zähler bedeuten?

Du musst nur etwas nachdenken und die Definition der Fakultät benutzen um zu sehen wie oft p als Faktor vorkommt. Wenn nichts hilft, betrachte einfach zuerst ein paar Beispiele.
MeliW84 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn p Primzahl ist, bedeutet p!= 1*2*3*5*....*p

Ist es vielleicht so, dass ja laut Vor. p*1=0, daher wird der Zähler 0, wenn ich Klammern setze:

(1*p)*(2*3*.....)= 0*(..)=0

So richtig?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber warum wird das p im Zähler nicht gekürzt durch irgendwas im Nenner`?
MeliW84 Auf diesen Beitrag antworten »

Weil p als Faktor im Nenner nicht vorkommt!

Oder?

Denke ich zumindest, ich kann es aber formal nicht beweisen.
Aber ist das jetzt noch wichtig? Der Zähler wird ja eh 0 durch meine Klammerung, wieso ist also noch der Nenner interessant?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Im Nenner sind doch nur Produkte von Zahlen die kleiner als p sind, kann dann p als Faktor vorkommen?

Und natürlich ist das wichtig, würdest du sagen dass die Projektion von in K gleich 0 ist?
MeliW84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaub, ich kapier es jetzt!!

Die Begründung setzt sich aus 2 Teilen zusammen:

1. Der Bruch ist teilerfremd, das heißt, p kann nicht gekürzt werden, da p als Faktor im Nenner nicht vorkommt,weil ... (ist jetzt klar)

2.) Der Zähler ist 0, weil... (siehe den Beitrag mit meiner Klammerung)

Ist das jetzt so richtig oder hab ich es immer noch nicht richtig verstanden?
Mit diesen Begründungen leuchtet es mir jedenfalls ein.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

teilerfremd nicht, p kann aber nicht gekürzt werden.
Wenn du denkst die Begründung verstanden zu haben, den entscheidenden Teil hast du ja ausgelassen, dann stimmt das.
MeliW84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich meinte, p kann nicht gekürzt werden.

Welchen entscheidenden Teil??

Du meinst, was ich mit "..." gekennzeichnet habe?

Das haben wir ja schon zuvor erarbeitet.

Ich zeige jetzt mal, wie ich die Aufgabe jetzt lösen würde:



Damit rauskommt, muss der mittlere Term 0 sein.

,
weil im Nenner nur Produkte von Zahlen vorkommen, die kleiner sind als p, kann p im Nenner als Faktor nicht vorkommen und somit nicht gekürzt werden.
Somit muss der Zähler betrachtet werden und den kann man schreiben als:



Passt das jetzt so?

Natürlich muss ich dann noch die Voraussetzung, Beh. ausformulieren. Mit geht es aber hier nur um den Beweis.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Deine Implikationspfeile sind so falsch.
MeliW84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, kannst du mir bitte mit der Lösung helfen, ich bekomme es einfach nicht hin!
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Denk doch einmal darüber nach, ich habe doch extra gesagt wo der Fehler liegt.
Zitat:
Original von MeliW84

Folgerst du wirklich so wie es da steht?
MeliW84 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich nochmal "=0" vor dem Implifikationspfeil schreibe, ist es dann richtig?

Liegt also der Fehler jetzt nur noch in meinen Implifikationspfeilen?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du folgerst doch falsch rum.

Bei dir ist dann eine Folgerung der Form 0 = 1 - 1 => 1=-1=0
MeliW84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann lass ich einfach den Implifikationspfeil weg und sage, dass der Bruch 0 sein soll und ist wegen meinen Begründungen.

Anders weiß ich jetzt wirklich nicht mehr weiter.
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