Symmetrische positiv definite Matrix

15.11.2010, 00:28	DerJFK	Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrische positiv definite Matrix Aufgabe: Beweisen sie, dass für symmetrisch, positiv definite Matrizen gilt $\begin{eqnarray} $a^2_{ij} < a_{ii}a_{jj} \ \text{mit} \ i,j=1,...,n \ i \not= j$ \end{eqnarray}$ Fragen Die Sache hierbei ist, mir ist auch nicht intuitiv klar warum das so ist. Deshalb fällt mir auch kein guter Ansatz ein. Ich das für positiv definite Matrizen gilt: $\begin{eqnarray} $x^TAx>0$ \end{eqnarray}$ nur das scheint mir gerade nicht viel zu helfen. Wäre über ein Wink mit Zaunpfahl froh,... was gilt sonst noch für symmetrisch positiv definite matrizen? danke schonamal
15.11.2010, 10:12	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte die Vektoren (o.B.d.A i < j) $\begin{eqnarray} w_1 = (0,0,...,v_i,0,...,v_j, ..., 0)^T \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w_2 = (0,0,...,v_i,0,...,-v_j, ..., 0)^T \end{eqnarray}$ Dann ist natürlich $\begin{eqnarray} w_1^T A w_1 > 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w_2^T A w_2 > 0 \end{eqnarray}$ Rechne diese beiden Produkte aus und setze $\begin{eqnarray} v_i = \frac{1}{\sqrt{a_{ii}}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_j = \frac{1}{\sqrt{a_{jj}}} \end{eqnarray}$ Dann stehts da. Du musst allerdings noch begründen, warum Du v_i, v_j so wählen darfst!
15.11.2010, 11:01	DerJFK	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort,... man braucht einfach nur die richtige Idee und für die Begründung, da $\begin{eqnarray} $x^TAx>0 \ \text{gilt ja für alle} \ x \in \mathbb R^n \setminus \{0\}$ \end{eqnarray}$ deshalb darf ich doch mein v_i und mein v_j frei wählen,... ist das okay so zu sagen?
15.11.2010, 11:03	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst begründen, warum a_ii und a_jj nicht kleinergleich 0 sein können. Denn sonst würdest Du undefinierte/komplexe Zahlen bekommen, und die kannst Du nicht ordnen.
15.11.2010, 11:20	DerJFK	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist eine Teilaufgabe, und voher musste man schon beweisen, dass alle diagonal einträge größer null sind,.. das hatte ich hin bekommen,.. deshalb hatte ich nicht drüber nachgedacht es nochmal hin zu schreiben,.. weil auf meinem blatt steht es ja schon sorry, du kannst ja nicht sehen was bei mir steht aber vielen dank !
15.11.2010, 11:24	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Unabhängig davon ob Du schon weisst das a_ii > 0 gilt, musst Du es an der Stelle, wo Du die v_i,v_j definierst, erwähnen. Und selbst wenn nicht, der Beweis dafür ist ja ein Einzeiler.
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15.11.2010, 13:11	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man die Cauchy-Schwarz'sche Ungleichung kennt, dann könnte man auch argumentieren, dass $\begin{eqnarray} \langle \cdot , \cdot \rangle: (x,y) \mapsto \langle x, y \rangle = x^T A y \end{eqnarray}$ ein inneres Produkt auf $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ definiert. Man hätte damit sofort $\begin{eqnarray} a_{ij}^2 = \|\langle e_i, e_j \rangle\|^2 < \langle e_i, e_i \rangle \langle e_j, e_j \rangle = a_{ii} a_{jj} \quad \text{für }i\ne j \end{eqnarray}$

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