extremwertberechnung

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18.06.2004, 14:39	tiefauslaeufer	Auf diesen Beitrag antworten »
extremwertberechnung hallo zusammen, kann mir da jemand weiterhelfen: gesucht sind die inneren extrema von $\begin{align} f(x,y)=\sin(x)\cos(y)\sin(x+y) \end{align}$ , sowie die extrema mit der nebenbedingung $\begin{align} x,y\geq 0 und x+y\leq \pi \end{align}$ ist glaub nicht so schwer, aber ich komm da einfach nicht weiter mfg tiefauslaeufer
22.06.2004, 12:52	Mario	Auf diesen Beitrag antworten »
Innere Extrema kriegst Du über Gradient Null setzen. Fürt die Untersuchung Deines jeweiligen Gebietsrandes kannst Du Deine NB (x=0, y=0, x=y-\pi) der Reihe nach in diue Fkt. einsetzen und diie entstehenden Fkt. einer Var. auf Extrema untersuchen. Am Ende die Untersuchung der Eckpunkte nicht vergessen... Lg Mario
22.06.2004, 14:34	tiefauslaeufer	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo mario, ich hab leider überhaupt keine ahnung davon, bin da ne komplette null könntest du vielleicht ein bißchen naeher darauf eingehen? danke, mfg
22.06.2004, 14:43	Mario	Auf diesen Beitrag antworten »
O.k. Rechnen wirs gemeinsam. Bestimme zunächst die partiellen Ableitungen und den Gradienten (Vektor der part. Abl.) und setze ihn Null. Damit bekommst Du die Kandidaten für innere Extrema. Ich warte schonmal aufs Ergebnis. Lg Mario
22.06.2004, 14:57	tiefauslaeufer	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, also da waeren mal die part. abl.: $\begin{align} Fx = sin(y)\cdot sin(2x+y) = 0 \end{align}$ und $\begin{align} Fy = sin(x)\cdot sin(2y+x) = 0 \end{align}$ die nullstellen: Fx: $\begin{align} y = n\cdot \pi \end{align}$ und $\begin{align} y = -2\cdot x+n\cdot \pi \end{align}$ Fy: $\begin{align} x = -2\cdot y+n\cdot \pi \end{align}$ und $\begin{align} x = n\cdot \pi \end{align}$ das sind jetzt mal die ergebnisse, wenn ich die partiellen ableitungen null setze. nur ist bei mir eine lösung jeweils immer variablenabhängig und weiss nicht was ich da machen soll! danke, mfg
22.06.2004, 15:10	Mario	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ganze ist jeweils als GS zu verstehen. Allerdings glaube ich, Deine Ableitungen stimmen nicht. Z.B. bin ich für F_x=cos(y)sin(2x+y) F_y=sin(x)cos(2y+x) Rechne doch bitte noch mal nach... Achte beim Ausrechnen darauf, dass Du im Gebiet bleibst, z.B. ist sin (x)=0 nur interessant für x=0,pi... Lg Mario
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22.06.2004, 15:19	tiefauslaeufer	Auf diesen Beitrag antworten »
ahh, kacke, die angabe hab ich falsch abgeschrieben, es muesste richtig heißen ausgangsfunktion: f(x,y) =sin(x)sin(y)sin(x+y) sorry ... mfg
22.06.2004, 15:41	tiefauslaeufer	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich komm da auf: x=0 x=pi/2 x=pi und fuer die y-werte dasselbe, aber i kann mir nicht vorstellen, dass das stimmt.
22.06.2004, 15:48	Mario	Auf diesen Beitrag antworten »
O.k., auch gut. Dann können wir die Symmetrie ausnutzen. Untersuche die erste Gleichung und erhalte y=0,\pi, 2x+y=0,\pi. Dann in die zweite einsetzen un am Ende die Rollen von x,y tauschen. Lg Mario
22.06.2004, 15:50	Mario	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt habnen wir uns einfach überschnitten. Sieht fast gut aus; Du müsstest aber Paare angeben. Lg Mario P.S.: O.k. ich habs gerechnet und (0,0), (pi,0), (0,pi) (pi/2,0), (pi/4,pi/2) raus bei der ersten Gleichung als Ausgangspunkt. Bei der zweiten kommt dann noch (0,pi/2) und (pi/2,pi/4) dazu... Also weiter zur Randuntersuchung... Lg Mario P.S.: editiert, da anfangs was vergessen
22.06.2004, 16:50	tiefauslaeufer	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, und wie weiss ich jetzt, ob das max odr min sind? einfach in funktion einsetzen und das vorzeichen der funkt.-werte vergleichen? mfg
22.06.2004, 16:53	Mario	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf dem Rand ist f=0, die inneren Extremalkandidaten haben wie ich das überblicke pos. Vorzeichen. Da stetige Fkt. auf Kompakta Min. und Max. annehmen dürfte damit alles klar sein, oder? Lg Mario
22.06.2004, 17:32	tiefauslaeufer	Auf diesen Beitrag antworten »
ja schon, aber zb. der punkt (0,pi) wenn ich den einsetze kommt f(0,pi)= 0 heraus und bei f(pi/4,pi/2) = 1/2 .... dh. (pi/4,pi/2) ist ein maximum oder ? ich komm einfach nicht drauf :P mfg
22.06.2004, 18:04	Mario	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja; da Du wegen f=0 auf dem Rand und f(..)>0 weisst, dass sich im Inneren mindestens ein Maximum befinden muss (Begr. oben) befindet sich dieses genau an d e r Stelle (es muss ja der notw. Bed. grad f (...)=0 genügen.) Das Min. wird somit auf dem Rand angenommen. Jetzt o.k? Lg Mario
22.06.2004, 19:36	tiefauslaeufer	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, ich glaub ich versteh es jetzt einigermaßen. danke fuer deine elends geduld. mfg

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