Anzahl linear unabhängige Lösungen für A*x=0

15.11.2010, 18:00

mika_r1

Anzahl linear unabhängige Lösungen für A*x=0

Meine Frage:
Hallo,
ich habe folgende wunderschöne Aufgabe gestellt bekommen:

Sei $\begin{eqnarray*} 0 \neq A \in \mathbb F^{1 \times n} \end{eqnarray*}$ eine 1 x n-Matrix mit Koeffizienten in dem Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb F \end{eqnarray*}$ . Zeige: Das homogene Gleichungssystem A*x = 0 hat (n-1) linear unabhängige Lösungen in $\begin{eqnarray*} \mathbb F^n \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich habe wohl noch ein Problem bei dem Verständnis mit der linearen Unabhängigkeit.
Ich habe das ganze mal mit simplen Beispielen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ durchgespielt.

Für $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ :

A: ( 1, 2 )
x: ( -2, 1)

Alle Änderen Lösungen für A*x = 0 sind skalare Vielfache von x also sind linear abhängig. Also haben wir n-1 linear unabhängige Lösungen nämlich genau eine.

Bei $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ komme ich schon nicht mehr klar:

A: (1 2 3)
x1: (1 1 -1), x2: (2 -1 0), x3: (3 0 -1), x4: (0 3 -2)

Das sind bei mir 4 Lösungen. Und linear unabhängig sind sie für mich auch, da ich keine mit einem skalaren Vielfachen des Anderen erzeugen kann.

Anyone can help?

Danke schon mal für eure Tipps.

15.11.2010, 19:35

Cugu

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Mit Begriffen wie Dimension, Kern, Rank lässt sich die Aufgabe sehr schnell lösen.

---

Wenn du im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ die Lösungen konstruieren willst, beginnst du einfach mit den Einheitsvekoten $\begin{eqnarray*} e_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , die du mit Gram-Schmidt auf das orthogonale Komplement von $\begin{eqnarray*} A^T \end{eqnarray*}$ projizierst. Also $\begin{eqnarray*} x_i= e_i - \frac{ A \cdot e_i }{A\cdot A^T} A^T \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=1,2,3 \end{eqnarray*}$ .
Dann suchst du zwei linear unabhängige $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ heraus. Meistens hast du freie Auswahl.

---

Deine $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ Lösungen sind nicht linear unabhängig. Im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ kann es inbesondere nur $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ linear unabhängige Vektoren geben. Du solltest dir die Definition von linearer Unabhängikeit angucken! Es genügt nicht, dass die Vektoren paarweise linear unabhängig sind!

17.11.2010, 22:29

mika_r1

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Hey,

@Cugu: Wir haben Begriffe wie Kern und Rank noch nicht gehört. Also komme ich mit deiner Antwort leider nicht klar.

Wir haben heute aberr noch zwei Tipps zu der Aufgabe bekommen. Wir sollen sie mittels Induktion und dem Fundamentallemma der Linearen Algebra, das da (kurz) wäre:

$\begin{eqnarray*} A \in \mathbb F^{ m \times n}, \mathbb F \end{eqnarray*}$ ein Körper.
$\begin{eqnarray*} \mathbb L_A = \left\{ x \in \mathbb F^n | Ax = 0 \right\} \end{eqnarray*}$

Ist m > n so ex ein $\begin{eqnarray*} 0 \neq x \in \mathbb F^n \end{eqnarray*}$ so das $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb L_A \end{eqnarray*}$

Das heißt, die Zeilen der entstehenden Matrix sind linear abhängig. Richtig?

Nun mal zur Induktion:

Induktionsanfang mit n=1:

$\begin{eqnarray*} A = \left( a \right) \end{eqnarray*}$

Hier ist ja ganz schnell zu sehen, dass x=0 sein muss, da A != 0 also auch a != 0. Also haben wir nur die triviale Lösung 0 und keine (n-1=0) andere.

Nun habe ich mehrere Ideen im Kopf... bekomme das aber nicht ganz geordnet:

*Die erste Idee:*

Induktionsvorraussetzung:
Wir haben gezeigt, dass wir für 1xn, n-1 linear unabhängige Lösungen haben d.h.:

$\begin{eqnarray*} A_n = \left( a_1,a_2,...,a_n \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left\{ x_1, x_2, ..., x_{n-1} \right\} \in \mathbb L_A \end{eqnarray*}$ sind linear unabhängig
also: $\begin{eqnarray*} \lambda _1 x_1 + \lambda _2 x_2 + ... + \lambda _{n-1} x_{n-1} = 0 \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} \lambda _1 = \lambda _2 = ... = \lambda _{n-1} = 0 \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt:

Für n+1: $\begin{eqnarray*} 0 + \lambda _n x_n=0 \end{eqnarray*}$
Daraus würde ja folgen, dass $\begin{eqnarray*} \lambda _n = 0 \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} x_n != 0 \end{eqnarray*}$

diese Idee habe ich aber wieder verworfen, weil die Lienarkombination ja mit x1-xn zu tun hat.

*Die zweite Idee:*

Ich weiß vom IA: $\begin{eqnarray*} x_1,...x_{n-1} \end{eqnarray*}$ sind linear unabhängig.

also:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda_1 x_{1,1} & \lambda_2 x_{2,1} & ... & \lambda_{n-1} x_{n-1,1} = 0\\ \lambda_1 x_{1,2} & \lambda_2 x_{2,2} & ... & \lambda_{n-1} x_{n-1,2} = 0\\ ... & ... & ... & ... \\ \lambda_1 x_{1,n} & \lambda_2 x_{2,n} & ... & \lambda_{n-1} x_{n-1,n} = 0\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dort habe ich ja nun mehr Zeilen als Spalten. Das bleibt auch so für n+1.
Ist das vielleicht die richtige Richtung?

Hoffe, ich bin nicht total auf dem Holzweg.

Danke schonmal! Gott

17.11.2010, 23:49

Cugu

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} A \in \mathbb F^{ m \times n}, \mathbb F \end{eqnarray*}$ ein Körper. $\begin{eqnarray*} \mathbb L_A = \left\{ x \in \mathbb F^n | Ax = 0 \right\} \end{eqnarray*}$ Ist m > n so ex ein $\begin{eqnarray*} 0 \neq x \in \mathbb F^n \end{eqnarray*}$ so das $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb L_A \end{eqnarray*}$

Im Koecher steht $\begin{eqnarray*} m<n \end{eqnarray*}$ ... und so muss es auch wohl heißen.

Entsprechent musst du die Lösungen andersherum in die Matrix schreiben:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 ...a_n& a_{n+1}\\\\x_1^T & 0\\\\ x_2^T & 0\\\\ \vdots & \vdots \\\\x_{n-1}^T & 0 \end{pmatrix} \cdot x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1,...,x_{n-1} \end{eqnarray*}$ sind die Lösungen von $\begin{eqnarray*} A_nx=0 \end{eqnarray*}$ . Indem man am Ende eine $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ hinzufügt werden es Lösungen von $\begin{eqnarray*} A_{n+1}x=0 \end{eqnarray*}$ .
Jetzt brauchst du nur noch die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Lösung...
Die lineare Unabhängigkeit zu zeigen ist einfach.

18.11.2010, 00:15

mika_r1

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Du hast natürlich recht. Es muss m < n heißen.

Leider muss ich sagen, dass ich dir einfach nicht folgen kann. verwirrt

Ich wollte darauf hinaus:

Ich schreibe für n alle n-1 Lösungen spaltenweise in die Matrix. Von denen weiß ich, dass sie liniear unabhängig sind und nur dadurch zu "0-en" sind, dass ich sie mit dem 0 multipliziere.
Ich dachte/habe gehofft, dass wenn ich die Matrix jetzt jeweils um eine Zeile/Spalte erweitere ändert sich nix.

18.11.2010, 00:26

Cugu

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Hab, ich doch gemacht, ich habe die Lösungen von $\begin{eqnarray*} Ax=0 \end{eqnarray*}$ , nämlich $\begin{eqnarray*} x_1,...,x_{n-1} \end{eqnarray*}$ in eine Matrix geschrieben. Und ja, die sind linear unabhängig und zwar auch dann noch, wenn man eine $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} (n+1) \end{eqnarray*}$ -ten Eintrag ergänzt. Also $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ Lösungen hast du schon.

Aber du brauchst doch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Stück...

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