Hessesche Normalform

15.11.2006, 11:15

Primzahl

Hessesche Normalform

Ich versteh nicht wie man von der Hesseschen Normalform
$\begin{eqnarray*} (\vec{x} -\vec{p} )*\vec{n}_{0} =0 \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} (\vec{x} -\vec{p} )*\vec{n}_{0}= d \end{eqnarray*}$

kommt.

15.11.2006, 11:23

mYthos

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RE: Hessesche Normalform
Das stimmt so auch nicht, denn die Hesse'sche Normalform lautet zwar

$\begin{eqnarray*} (\vec{x} -\vec{p} )*\vec{n}_{0} =0 \end{eqnarray*}$

aber der Abstand d eines Punktes P1 ist dann

$\begin{eqnarray*} (\vec{p_1} -\vec{p} )*\vec{n}_{0}= d \end{eqnarray*}$

also, erst wenn man statt der laufenden Koordinaten ( $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ ) die des Punktes P1 einsetzt, erhält man den Normalabstand.

mY+

15.11.2006, 14:56

Primzahl

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was man mit hilfe dieser formel ausrechnen kann, ist mir bekannt, aber zum beispiel versteh ich nicht wirklich den unterschied von der Normalenform und der Hesseschen Normalenform, außer der tatsache, dass $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ in letzteres der einheitsvektor ist.
zudem besteht doch ein zusammenhang zwischen der Hess. Normalenform und der Formel mit der man den Abstand berechnet, aber den versteh ich nicht so ganz.
$\begin{eqnarray*} (\vec{p}_{1}-\vec{p}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{n}_{0} \end{eqnarray*}$ sind kolinear, aber warum ergibt das produkt den abstand?
der faktor vor dem vektor gibt zwar die länge eines vektors an, aber in diesem fall sind es ja beide vektoren.

15.11.2006, 19:57

mYthos

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Da muss man ein wenig tiefer in die Definition des skalaren Produktes eindringen. Nach dieser ist das skalare Produkt zweier Vektoren (auch) gleich dem Produkt des Betrages des einen Vektors mal der Projektion des anderen Vektors auf diesen.

In

$\begin{eqnarray*} (\vec{p_1} - \vec{p}) \cdot \vec{n_0} = d \end{eqnarray*}$

wird nun der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{p_1} - \vec{p} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \vec{n_0} \end{eqnarray*}$ projiziert.

In diesem Fall ist die Länge der Projektion gleich d, und weil $\begin{eqnarray*} \vec{n_0} \end{eqnarray*}$ die Länge 1 hat, lautet das skalare Produkt ebenfalls d.

mY+

17.11.2006, 17:16

Xell

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Zitat:

Original von mYthos
Da muss man ein wenig tiefer in die Definition des skalaren Produktes eindringen. Nach dieser ist das skalare Produkt zweier Vektoren (auch) gleich dem Produkt des Betrages des einen Vektors mal der Projektion des anderen Vektors auf diesen.

Hallo!

Cool, dass es hier schon ein Thema dazu gibt... könnte ich das vllt noch n bisschen ausführlicher erklärt haben?

muss nämlich am MO GFS über die HNF machen und soll dabei auch auf die Projektionsgeschichte eingehen...

Gruß,

Philipp.

19.11.2006, 17:48

Xell

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ich muss die GFS morgen machen...

19.11.2006, 20:35

mYthos

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Es ist, wie oben beschrieben! Viel mehr kann man zu der Projektionsgeschichte nicht sagen. Vielleicht hilft es dir, wenn du das Ganze mal in einer Zeichnung (Skizze) festhältst.

Die HNF an sich ist ein gesondertes Thema, darüber kann man natürlich mehr schreiben, was aber nicht ausschließlich mit der Projektion zu tun hat. Diese ist nur das Mittel zum Zweck.

Was man mittels der Projektion auch noch macht, ist, den lotrechten Abstand zweier kreuzender (d.h. windschiefer, nicht schneidender) Geraden zu berechnen. Dieser ist

$\begin{eqnarray*} d = (\vec{a_1} - \vec{a_2}) \cdot \vec{n_0} \end{eqnarray*}$

wenn $\begin{eqnarray*} \vec{a_1}, \vec{a_2} \end{eqnarray*}$ beliebige Anfangsvektoren der beiden Geraden und $\begin{eqnarray*} \vec{n_0} \end{eqnarray*}$ jener Einheitsvektor ist, der auf den Richtungsvektoren der beiden Geraden senkrecht steht.

Auch dazu hilft eine Skizze, um diese Beziehung zu verstehen.

mY+

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