komplexe gleichungen lösen

15.11.2010, 21:31

Aenny

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komplexe gleichungen lösen

Hallo, ich hänge hier schon seit stunden an dieser einen aufgabe, ich bitte dringend um Hilfe....

Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der folgenden Gleichung :
z^4= (-1+(wurzel 3)*i)/2

zuerst habe ich mir überlegt das im betrag zu schreiben,und danach iwas mit polarkoordinaten, aber leider weiß ich gar nicht weiter.
vllt könnt ihr mir ja helfen
grüße

15.11.2010, 21:50

mYthos

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Schreibe einmal $\begin{eqnarray*} -\frac 1 2 + \frac{\sqrt 3} 2 i \end{eqnarray*}$ als e-Potenz, mit dem Betrag vorne.
Was hast du bisher schon gerechnet? Wie lautet denn der Betrag (r)?

Verwende dann die allgemeine Lösung der Kreisteilungsgleichung, wie sie schon so oft (auch hier im Forum) geschrieben wurde und zu lesen ist

$\begin{eqnarray*} z = \sqrt[n] r \cdot e^{i(\frac{\varphi} n + k \frac{2 \pi} n)} \ \text{mit} \ k = 0, 1, .. , n-1 \end{eqnarray*}$

mY+

15.11.2010, 21:51

Huy

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$\begin{eqnarray*} z^4 = \frac{-1+\sqrt{3} i}{2}=-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}i}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \iff re(z^4) = -\frac{1}{2}=x, \; im(z^4) = \frac{\sqrt{3}}{2}=y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \iff (r \cdot e^{i \cdot \pi})^4 = r^4 \cdot e^{4i \cdot \varphi}= \sqrt{x^2+y^2} \cdot e^{i \cdot (\tan^{-1}{\frac{y}{x}})} = 1 \cdot e^{i \cdot (-\frac{\pi}{3} + k \cdot 2 \pi)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \implies r = 1, \text{ da } r \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{4i \cdot \varphi} = e^{i \cdot (-\frac{\pi}{3} + k \cdot 2 \pi)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \iff 4i \cdot \varphi = i \cdot (-\frac{\pi}{3} + k \cdot 2 \pi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \iff \varphi = -\frac{\pi}{12} + k \cdot \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Und dann noch die Lösungen in kartesische Form umwandeln, falls verlangt...

MfG

15.11.2010, 22:01

Aenny

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Hallo, das mit dem e hoch iwas, haben wir gar nicht gemacht, deswegen weiß ich leider nicht was du meinst @Huy. Wir haben das immer nur mit sinus und cosinus gemacht und ich weiß auch nicht wie du auf die winkel kommst =(

15.11.2010, 23:25

mYthos

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@Huy

Bitte keine Komplettlösungen! Hast du schon einmal das Boardprinzip durchgelesen?
Du bist doch schon lange Mitglied und solltest das eigentlich wissen!

Die Moderatoren müssen solche Komplettlösungen entfernen und dann ist doch die ganze Mühe vergeblich.

mY+

15.11.2010, 23:35

mYthos

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@Aenny

Dann musst du es eben mit der Moivre'schen Formel machen:

$\begin{eqnarray*} (\cos \varphi + i \sin \varphi)^n = \cos n \varphi + i \sin n \varphi \end{eqnarray*}$

Diese gilt auch für gebrochene Exponenten (--> Wurzeln)

Um die Winkel- und Betragsberechnung kommst du aber dennoch nicht herum. Auch die Periodizität der Winkelfunktionen kommt wieder ins Spiel. Damit wird erst die Lösungsvielfalt sichergestellt.

mY+

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15.11.2010, 23:42

Manni Feinbein

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Oder Du berechnest einfach mal

$\begin{eqnarray*} \left(-\frac 1 2 + \frac{\sqrt 3} 2 i\right)^3 \end{eqnarray*}$

staunst kurz und stellst dann fest, dass die Aufgabe damit gelöst ist.

15.11.2010, 23:49

mYthos

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Was hat dies mit der Aufgabe zu tun? Dort soll eine Gleichung 4. Grades glöst werden, also die 4. Einheitswurzeln bestimmt werden.

mY+

16.11.2010, 00:26

Manni Feinbein

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Zitat:

Original von mYthos
Was hat dies mit der Aufgabe zu tun? Dort soll eine Gleichung 4. Grades glöst werden, also die 4. Einheitswurzeln bestimmt werden.

mY+

Ja, genau!

Und wenn man feststellt, dass

$\begin{eqnarray*} \left(-\frac 12+\frac{\sqrt{3}}2i\right)^3=1 \end{eqnarray*}$ ,

dann ist -aus Symmetriegründen- sofort klar wie diese aussehen.

16.11.2010, 01:19

mYthos

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Ach so, dann willst du auf eine Kreisteilung durch 12 hinaus. Ein unorthodoxer Weg, der hier nur zufällig machbar ist.
Es ist dennoch gescheiter, klassisch so zu beginnen, den Anfangswinkel von 120° durch 4 zu teilen.

mY+

16.11.2010, 10:40

Manni Feinbein

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Zitat:

Original von mYthos
Ach so, dann willst du auf eine Kreisteilung durch 12 hinaus.

Nö, keineswegs. Ich wollte nur darauf hinaus, dass eine Lösung damit direkt klar ist.
3 weitere erhält man durch Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} i,~-1 \text{ und }-i \end{eqnarray*}$ .
Und damit ist der Drops gelutscht - ohne den De Moivre Kram, den Huy ja schon dargelegt hat (mit falschem Ergebnis allerdings).

Zitat:

Original von mYthos
Ein unorthodoxer Weg, der hier nur zufällig machbar ist.

Dieser Tatsache habe ich - offensichtlich vergeblich - durch die Formulierung: "Berechne einfach mal ... staune kurz und stelle fest, dass..." versucht Ausdruck zu verleihen.

Zitat:

Original von mYthos
Es ist dennoch gescheiter, klassisch so zu beginnen, den Anfangswinkel von 120° durch 4 zu teilen.

mY+

Darüber kann man dann wieder streiten...was ich aber nicht möchte.

16.11.2010, 12:46

Aenny

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Ich werd die aufgabe gleich mal anfangen zu lösen, ich melde mich dann später nochmal, weil ich jetzt in die Uni muss.

@Huy, wieso muss ich ausgrechnet den winkel von 120 grad nehmen und durch 4 teilen, warum kein anderer winkel?

16.11.2010, 17:52

Aenny

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hallo, also ich habe angefangen, allerdings bin ich nicht sehr weit gekommen....
ich habe jetzt :
z^4 = (cos 4 phi + i sin 4 phi)
und Betrag von z^4 = Wurzel aus ((-1+ (wurzel 3)i)/2)
weiß aber nicht wie ich den betrag weiter ausrechnen kann.

16.11.2010, 17:59

Aenny

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okay ich hab jetzt nach langen überlegungen raus, der Betrag von z^4 ist 1

16.11.2010, 18:50

Aenny

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beträgt der winkel 8/3 pi???? und wie gehts dann weiter?

16.11.2010, 19:00

mYthos

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Auf Grund der Vorzeichen des Sinus und Cosinus in der gegebenen komplexen Zahl ist darauf zu schließen, dass der Zeiger in den 2. Quadranten weist. Damit hast du schon einen Anhaltspunkt, wie groß der Winkel sein muss.
8 pi/3 wird da sicher nicht passen.
Ziehe da ein paar Vielfache von [EDIT:] $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ (entspricht 360°) ab und dann ist es gut.
Die drei weiteren Lösungen bekommst du - wie beschrieben - mittels Drehung um jeweils 90° (Multiplikation mit i).

mY+

16.11.2010, 22:03

Aenny

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vllt bin ich einfach zu blöd die aufgabe zu rechnen, aber ich komm damit iwie nicht klar =(

16.11.2010, 22:23

Kretos

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Also Leute ich hatte diese Aufgabe auch und habe sie nach einigem Hin und Her gelöst.

Kleiner Hint an mYthos:
Es ist manchmal etwas verwirrend, wenn du Bogenmaß und Gradmaß ständig durcheinander würfelst.

Hint an die Leute, die es noch nicht gelöst haben:

$\begin{eqnarray*} w:= -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi_w = arg(w) ~und~ |w| = r \end{eqnarray*}$
per Taschenrechner

Weiter gilt:

$\begin{eqnarray*} && z^{4}=4 \\ && \rightarrow z_1=w^{\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$

Stelle nun mal dieses $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ in der Form dar, die wie folgt aussieht:
$\begin{eqnarray*} w=r*e^{\phi_w*i} \end{eqnarray*}$

Jetzt die vierte Wurzel zu ziehen, ist ja einfach. Und dann nimmst du noch den Hinweis von mYthos dazu, dass du die weiteren Lösungen erhälst, indem du Teile von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ addierst, nach folgender Formel (von wikipedia, zu finden unter "Wurzeln komplexer Zahlen" über google):

$\begin{eqnarray*} z_k=e^{\frac{i*\phi}{n}+k*{\frac{2*\pi*i}{n}}} \end{eqnarray*}$
Hier mit k=(1,..,n) und n=4, weil wir die 4. Einheitswurzel haben wollen.
Guck mal auf Wikipedia, der Artikel da hat mir auch geholfen. Und diese Formel hier sieht komplizierter aus als sie ist, das geht echt leicht.

Achja, das ganze nachher wieder umzuformen in eine "normale" komplexe Zahl ist relativ einfach, da jede Zahl in der Form $\begin{eqnarray*} e^{\phi*i} \end{eqnarray*}$ da steht und du nur dieses $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ in die Form $\begin{eqnarray*} z=r*(cos\phi + i*sin\phi) \end{eqnarray*}$ einsetzen musst.

Hoffe das hilft dir und den anderen bei der Aufgabe Augenzwinkern

Augenzwinkern

!?
Kommt zufällig einer von euch aus Aachen und hat morgen mit mir Tutorium Big Laugh

Big Laugh

?

LG
P.S.: Ich komm langsam klar mit Latex smile

smile

16.11.2010, 23:04

hnky

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,

ich hänge zur zeit ebenfalls an dieser aufgabe, habe allerdings erst frühestens donnerstag dafür zeit.

deshalb möchte ich dir, Kretos, (und natürlich den anderen helfern) schonmal für die hilfestellung danken, denn ohne sie wäre ich(wie einige andere auch) ziemlich aufgeschmissen.

@kretos: ich komme zwar aus aachen(bzw. umgebung), habe allerdings den freitags termin smile

smile

lg

16.11.2010, 23:21

Kretos

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Zitat:

Original von hnky
@kretos: ich komme zwar aus aachen(bzw. umgebung), habe allerdings den freitags termin smile

smile

lg

Nice

Big Laugh

Wenn du sonst etwas von dem Blatt brauchst schreib ne PN, bin damit durch Augenzwinkern

Augenzwinkern

LG

17.11.2010, 00:10

minizicke1306

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo liebe Mitstudenten der RWTH Big Laugh

Big Laugh

Nach sehr langem Grübeln habe ich ein Ergebnis *jihaaa*
Hoffe ihr könnt mir bestätigen, dass das auch stimmt:

$\begin{eqnarray*} z_1=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_2=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_3=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_4=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \end{eqnarray*}$

Das sind dann meine vier komplexen Lösungen = vier Punkte der komplexen Ebene.

So weit, so gut...Jetzt müssen wir das aber noch skizzieren.
Ich weiß, dass die x-Achse die reelle Achse und die y-Achse die imaginäre Achse ist. Aber wie um alles in der Welt trage ich beispielsweise $\begin{eqnarray*} z_1=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i \end{eqnarray*}$ da ein??
Muss ich dann einfach $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$ auf der x-Achse und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}i \end{eqnarray*}$ auf der y-Achse eintragen??

Danke smile

smile

@mYthos: Ich bin minizicke1306, nicht Aenny. Ich habe ein neues Thema aufgemacht, weil ich vergessen habe nachzugucken, ob es das nicht schon gibt. Außerdem wäre eine Anmeldung in EINEM forum mit ZWEI namen sehr sinnfrei, aber nuja...

EDIT
Das mit dem Zeichnen hat sich erledigt, hab grad irgwie nur halb gedacht, ich Dummerchen Hammer

Hammer

Eine Frage habe ich doch noch:
Ich habs gezeichnet und habe die Punkte zu einem Quadrat verbunden. Ist das richtig, oder muss das ein Kreis sein???

17.11.2010, 00:26

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Die 4 Punkte liegen auf einem Kreis (Radius = 1), aber miteinander verbunden ergeben sie natürlich ein Quadrat.
_____________________

@Kretos
Ich habe es editiert ...

@Minizicke1306
Du hast keine Vorstellung, wieviele User hier unter doppelten, dreifachen ... Namen auftreten! Sorry, ich wollte dir ja nicht nahetreten. Hätte ja sein können.

mY+

17.11.2010, 00:36

corvus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mYthos
Es muss schon irgendwo einen gleichlautenden Thread geben. verwirrt

verwirrt

Edit:

*** geschlossen ***

Bitte macht dort weiter:
mY+

allmächtiger mY+
bei all den wundersamen Beiträgen , die hier in diesem Thread geboten
werden , möchte ich noch darauf hinweisen, dass es schon irgendwo einen
gleichlautenden Thread geben muss :

komplexe Gleichungen lösen und in der komplexen Ebene skizzieren

und da frage ich mich schon, nach welchen Qualitätskriterien hier entschieden
wird.

ach ja,dies:
Die 4 Punkte liegen auf einem Kreis (Radius = 1), aber
miteinander verbunden ergeben sie natürlich ein Quadrat.
kannst du längst dort auch schon nachlesen
dort siehst du dies:
du willst schlussendlich ja die Ecken eines Quadrates in C skizzieren..

................................................................................... smile

smile

17.11.2010, 00:46

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

@corvus

Du kannst ruhig deinen maliziösen Ton bzw. Maßregelungen an mich unterlassen.
Ich habe schließlich mehr zu tun, als nur deine Beiträge Zeile für Zeile zu lesen.
Die Frage nach dem Quadrat wurde gestellt und ich habe sie beantwortet. So einfach ist das, punktum.

Die Kriterien, nach denen hier entschieden wird, liegen nicht in meiner Allmacht, sondern sind ganz klare Boardregeln (für Moderatoren): Doppelposts sind zu schließen und mit einem entsprechenden Verweis auf den Parallelthread zu versehen.

Und jetzt höre bitte ernsthaft mit deinen Sticheleien auf. Ich werde dies in Hinkunft nicht mehr hinnehmen. Wenn dir etwas nicht passt, steht es dir im Übrigen frei, dich in einem anderen Forum auszutoben.

17.11.2010, 01:16

Kretos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von minizicke1306
Hallo liebe Mitstudenten der RWTH Big Laugh

Big Laugh

Nach sehr langem Grübeln habe ich ein Ergebnis *jihaaa*
Hoffe ihr könnt mir bestätigen, dass das auch stimmt:

$\begin{eqnarray*} z_1=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_2=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_3=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_4=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \end{eqnarray*}$

Hey

smile

Du hast aber auch nicht zufällig Tutorium mit mir am Mittwoch Nachmittag smile

smile

?
Also die Lösungen kann ich dir bestätigen, hab ich auch so raus.

Zitat:

Original von minizicke1306
So weit, so gut...Jetzt müssen wir das aber noch skizzieren.
Ich weiß, dass die x-Achse die reelle Achse und die y-Achse die imaginäre Achse ist. Aber wie um alles in der Welt trage ich beispielsweise $\begin{eqnarray*} z_1=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i \end{eqnarray*}$ da ein??
Muss ich dann einfach $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$ auf der x-Achse und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}i \end{eqnarray*}$ auf der y-Achse eintragen??

Aubacke, das Zeichnen hätte ich jetzt vergessen ^^

Aber noch ein paar kleine Hinweise:
1) Du beschriftest die x- Achse mit $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und trägst da ganz normal den Realteil ein. Die y- Achse beschriftest du eh mit $\begin{eqnarray*} i\mathbb R \end{eqnarray*}$ , von daher trägst du im Endeffekt auch das i nicht direkt ein, sondern nur den Faktor. Und dann bekommst du Punkte, das hast du richtig erkannt smile

smile

!

2) Durch dieses $\begin{eqnarray*} |w|=r=1 \end{eqnarray*}$ hast du hier einen Kreis um den Ursprung mit dem Radius 1, also den Einheitskreis. Und die Punkte, die wir zeichnen, liegen genau auf diesem Einheitskreis.
Wenn man sie verbindet, bekommt man natürlich ein Viereck.
Und falls du das auf Wikipedia gelesen hast, was ich vorher meinte:
Das ist genau das, was die meinen mit dem n-Eck.
$\begin{eqnarray*} z^{n}=w~mit~z,w\in\mathbb C~\wedge~|w|=1~und~n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ergibt als Lösung immer genau n Punkte, die dem Einheitskreis ein regelmäßiges n- Eck einbeschreiben.

Hoffe das war jetzt nicht verwirrend, aber finde das irgendwie ein bisschen faszinierend smile

smile

LG

17.11.2010, 01:17

tigerbine

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@corvus

Zitat:

und da frage ich mich schon, nach welchen Qualitätskriterien hier entschieden
wird.

Nach dem "pro user (pl.)" Kriterium. mYthos hat festgestellt, dass die gleiche Aufgabe hier schon zeitnah behandelt wurde. Das kann jedem Mod so gehen und hat nichts damit zu tun, dass er im anderen Thread geholfen hat. Nun gibt es auch zahlreiche Fälle von Doppelten Accounts und usern, die ihre Themen mehrfach einstellen. Dies widerspricht dem Boardprinzip. In diesen Fällen wird der neuere Thread geschlossen.

Es geht hier vor, dass sich die Helfern anderen Threads widmen können, damit mehr usern geholfen werden kann. Sollte man zu unrecht geschlossen haben, so kann man auch mal eine pn an den Mod schreiben "Ich bin ein anderer user, bitte Thread wieder aufmachen" und die Sache ist ruck zuck vom Tisch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.11.2010, 01:27

minizicke1306

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Du hast aber auch nicht zufällig Tutorium mit mir am Mittwoch Nachmittag smile

smile

?

@Kretos:
Ich weiß nicht genau wann mein Tutorium ist (ich glaube Dienstags, Gruppe 1). Ich mache alles von zu Hause aus, da ich Ende September Mutter geworden bin und das erste Semester bei meinem Sohn bleibe. Nächstes Semester gehe ich zur Uni und der kleine Mann geht in die studentische Betreuung ;-)
Das ist auch der Grund, warum ich hier so viel nachfrage smile

smile

Muss halt alles selbst erarbeiten und das ist irgendwie gar nicht so leicht.

Achja und vielen, vielen Dank an alle, die sich hier so viel Mühe gemacht haben, um das verplanten Leuten wie mir zu erklären Big Laugh

Big Laugh

Der größte Dank geht dabei an corvus und Kretos.

17.11.2010, 08:50

Aenny

Auf diesen Beitrag antworten »

@minizicke

vllt. könntest du mal kurz erklären wie du auf deine ergebnisse gekommen bist, ich habe jetzt den betrag ausgerechnet r=1
und dann hab ich ein winkel von 120 grad. muss ich denjetzt durch 4 teilen oder wie geht das weiter, weil bei mir kommen immer die gleichen lösungen raus, immer - 1/2 + 0,866
also ich hab k= 0,1,2,3 gewählt.
vielen dank

17.11.2010, 09:32

Manni Feinbein

Auf diesen Beitrag antworten »

Schade, dass Du die Beiträge nicht liest, denn es steht doch schon seit vorgestern eine vollständige Lösung da. unglücklich

unglücklich

Zusammengefasst:

Sei $\begin{eqnarray*} z:=-\frac 12+\frac{\sqrt{3}}2i. \end{eqnarray*}$

Dann rechnest Du einfach nach, dass $\begin{eqnarray*} z^3=1 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} z^4=z. \end{eqnarray*}$

Eine Lösung lautet also: $\begin{eqnarray*} -\frac 12+\frac{\sqrt{3}}2i. \end{eqnarray*}$

Multipliziere nun mit $\begin{eqnarray*} i,-1\text{ und }-i \end{eqnarray*}$ und Du erhältst die 3 weiteren Lösungen:

$\begin{eqnarray*} -i\frac 12-\frac{\sqrt{3}}2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac 12-\frac{\sqrt{3}}2i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} i\frac 12+\frac{\sqrt{3}}2 \end{eqnarray*}$

Fertig!

17.11.2010, 10:24

minizicke1306

Auf diesen Beitrag antworten »

@Aenny:

Für $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ hat die Gleichung $\begin{eqnarray*} z^n=w=r(cos\phi +i sin\phi) \end{eqnarray*}$ genau n verschiedene Lösungen $\begin{eqnarray*} z_1,z_2,z_3,...,z_n \end{eqnarray*}$ (die n-ten Wurzeln aus w).

Ich habe dann die Gleichung $\begin{eqnarray*} z_k=\sqrt[n]{r}(cos\frac{\phi+2(k-1)\pi}{n}+i\cdot sin\frac{\phi+2(k-1)\pi}{n}), k=1,2,3,...,n \end{eqnarray*}$ benutzt
und dann für $\begin{eqnarray*} \phi=\frac{2\pi}{3}=120° \end{eqnarray*}$ und für k=0,1,2,3 eingesetzt.
Dabei kannst du aber auch für k=1,2,3,4 oder 5,6,7,8 oder was auch immer einsetzen, weil die Ergebnisse ja periodisch sind.

Achte nur darauf, dass du entweder $\begin{eqnarray*} \phi=\frac{2\pi}{3} \end{eqnarray*}$ wählst und den Rest der Gleichung somit ebenfalls in Vielfachen von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ darstellst oder ob du eben alles ins Gradmaß umwandeln willst.
Ansonsten kommt da nämlich murks raus, das hab ich auch feststellen müssen, weil ichs vergessen habe Hammer

Hammer

17.11.2010, 21:52

Aenny

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Vielen Dank @Minizicke

Studierst du nur Mathe oder noch was an der rwth????

18.11.2010, 17:44

hnky

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Zitat:

Original von minizicke1306

Ich habe dann die Gleichung $\begin{eqnarray*} z_k=\sqrt[n]{r}(cos\frac{\phi+2(k-1)\pi}{n}+i\cdot sin\frac{\phi+2(k-1)\pi}{n}), k=1,2,3,...,n \end{eqnarray*}$ benutzt
und dann für $\begin{eqnarray*} \phi=\frac{2\pi}{3}=120° \end{eqnarray*}$ und für k=0,1,2,3 eingesetzt.

hallo,

kann mir jemand erklären, wie man auf obige formel und den wert für $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ kommt?

ich sehe da momentan keinen zusammenhang.

18.11.2010, 19:50

Kretos

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Zitat:

Original von hnky
hallo,

kann mir jemand erklären, wie man auf obige formel und den wert für $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ kommt?

ich sehe da momentan keinen zusammenhang.

Hi

für den Wert von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ siehe mein Post:
$\begin{eqnarray*} \phi_w = arg(w) \end{eqnarray*}$
per Taschenrechner

Der Winkel ist das sogenannte Argument der Zahl. Wenn du die Zahl als Punkt im Koordinatensystem einträgst und eine Verbindung zum Ursprung ziehst, ist es der mit der x- Achse nach rechts eingeschlossene Winkel (hier 120°), nur halt im Bogenmaß.

Die Formel erhält man, da man jede komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} z:=r\cdot (cos(\phi)+i\cdot sin(\phi)) \end{eqnarray*}$ darstellen kann und die cos und sin Funktion periodisch sind. durch die Umstellung des Winkels erhält man Verschiebungen des Winkels, abhängig von k und n.
Die n-te Wurzel einer komplexen Zahl ist aber glaub ich auch so definiert (Über Moivre).

Konnte ich dir damit helfen, oder war das zuviel Durcheinander?

18.11.2010, 19:59

hnky

Auf diesen Beitrag antworten »

danke, hat geholfen smile

smile

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