Koordinatentransformation

Neue Frage »

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Koordinatentransformation
Hallo,

ich habe eine Quadratische Funktion:



mit SPD, ,

Wie muss eine Transformation aussehen, dass ich die Gestalt



habe, mit Diagonalmatrix.

Q kann man nach Spektralsatz zerlegen in . Mir macht der Term zu schaffen. Wer kann mir helfen? Wink
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koordinatentransformation
Hi tigerbine,

Wenn Du den ersten (quadratischen) Term diagonalisiert hast, und er somit die Form hat, kannst Du den Linearteil per quadratischer Ergänzung erledigen.

Gruß,
Reksilat. Wink
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koordinatentransformation
Mmh, dass muss ich mir mal anschauen...



Mache ich mit dann erst mal eine Abbildung und schreibe Q zerlegt hin. U orthogonal.



Nun hast du mir den Tipp gegeben, dass mal anders anzuschauen.



Nun ergänze ich passend. Nuschel das in die Parameter b.



Das macht dann



Soweit richtig?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koordinatentransformation
Das Genuschelte hab ich nicht ganz verstanden, aber es sieht auf jeden Fall gut aus. Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koordinatentransformation
Ups Jaja, die deutliche Aussprache. Nun muss ich noch ein Abbildung machen, die

zum einen:



und dann muss ich die Konstante noch wegbekommen. Wäre das dann "in Summe" eine affine Lin. Abbildung?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koordinatentransformation
Also eine "lineare" Abbildung wird f nicht. Dafür hast Du definitiv zu viele quadratische und zu wenig lineare Terme drin. Augenzwinkern

Das Absolutglied kannst Du auch nicht entfernen. Normalerweise schaust Du Dir ja die Nullstellenmenge Deiner Funktion an und es ist besteht eben ein qualitativer Unterschied zwischen und .
Jedenfalls sieht mir das alles nach Hauptachsentransformation aus und da ist dann eben auch das Absolutglied entscheidend für die Form der Quadrik.
Die Hauptachsentransformation ist allerdings wirklich eine affine Koordinatentransformation und sie ist sogar längenerhaltend, also , mit orthogonal. Man dreht und verschiebt dabei eine geometrische Figur, bis sie eine gewisse Standardposition erreicht hat.
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koordinatentransformation
Zitat:
Original von Reksilat
Also eine "lineare" Abbildung wird f nicht. Dafür hast Du definitiv zu viele quadratische und zu wenig lineare Terme drin. Augenzwinkern

Das Absolutglied kannst Du auch nicht entfernen. Normalerweise schaust Du Dir ja die Nullstellenmenge Deiner Funktion an und es ist besteht eben ein qualitativer Unterschied zwischen und .


Da es mir am Ende um das Minimum geht, ist mir das Absolutglied egal. Nur heißt der Text nicht "ist egal", sondern, es gibt eine Transformation. Und die versuche ich mit nun zu erklären.


Zitat:

Jedenfalls sieht mir das alles nach Hauptachsentransformation aus und da ist dann eben auch das Absolutglied entscheidend für die Form der Quadrik.
Die Hauptachsentransformation ist allerdings wirklich eine affine Koordinatentransformation und sie ist sogar längenerhaltend, also , mit orthogonal. Man dreht und verschiebt dabei eine geometrische Figur, bis sie eine gewisse Standardposition erreicht hat.


Seht das nun im Widerspruch zu deinem ersten Satz. verwirrt Die HAT kenne ich nur vom Namen her (im Fischer Band 1 ist das dann nur der Spektralsatz). Das haben wir nie konkret berechnet. Würde dieses Beispiel passen? Ich denke nicht, dass ich das vorführen muss, aber ich würde es gerne 1mal gesehen haben.

Danke dir! Wink
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koordinatentransformation
Ja, das Beispiel passt. Du kannst ja auch mal hier schauen, wie solche quadratischen Funktionen im und allgemein klassifiziert werden können. Auch im Board gibt es noch ein paar Links und Erklärungen zur HAT.

Mein erster Satz im obigen Beitrag bezog sich auf f. Letztlich hätte ich ihn auch wieder streichen können, da ich davor schon gemerkt hatte, dass Du Dich nur auf die Koordinatentransformation bezogen hast. Ups

Du kannst Dir ja auch mal überlegen, wie eine Koordinatentransformation aussehen müsste, um die Funktion auf die Form zu bringen. Eine affine Transformation wird das sicher nicht. Augenzwinkern
Das Absolutglied wirst Du auf diese Weise nicht eliminieren können.

Gruß,
Reksilat.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die quadratische Form

_______(1)

Ich habe im 2.Summanden den Faktor 2 eingeführt, was mitunter bequemer ist. Um den 2.Summanden zu beseitigen, macht man folgende "Verschiebung" des Koordinatenystems

_______(2)

Dabei ist die neue Variable bezüglich des verschobenen Systems. Um den "Verschiebvektor" zu bekommen, muss man also die Inverse der Formenmatrix Q bestimmen. Einsetzen von (2) in (1) liefert



Ausmultiplizieren liefert das Gewünschte, weil sich der lineare Term heraushebt. Dabei wird benutzt, dass Q symmetrisch ist.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sage schon mal danke, auch wenn ich erst in der Nacht dazukommen werde, es nachzurechnen. Wink
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »