Partielle Ableitung mit Kettenregel

16.11.2010, 00:05	MatheJens	Auf diesen Beitrag antworten »
Partielle Ableitung mit Kettenregel Meine Frage: Hallo. In einer Übungsaufgabe (Lehrbuch) habe ich fogende Aufgabe gefunden: y'=f(t,y); y'' = fy(t,y) + ft(t,y)f(t,y) ft und fy stehen hierbei für die partiellen Ableitungen der Funktion nach t bzw. y. Der Autor verweist auf die Anwendung der Kettenregel. Die Kettenregel ist mir durchaus bekannt, jedoch fällt mir die Nachvollziehung dieses Beispiels schwer. Meine Ideen:* Ich habe leider keine Idee, da mir die Anwendung der Kettenregel auf so ein allgemeines Beispiel schwer fällt. Was ist hier die innere- was die äußere Ableitung. Die Ableitung benötige ich für eine Taylorreihen Entwicklung zur Kontrolle der Konsistens des mod. Euler Verfahrens u\|i+1\| = u\|i\|+h\|i\|f(t\|i\|,h\|i\|/2, u\|i\|+ (h\|i\|/2)f(t\|i\|, u\|i\|)).
16.11.2010, 01:19	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreibe $\begin{eqnarray} y'(t)= f\begin{pmatrix} t \\ y(t) \end{pmatrix}=(f\circ g)(t) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g(t)=\begin{pmatrix} t \\ y(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Dann ist nach der Kettenregel $\begin{eqnarray} y''(t)=(f\circ g)'(t)=f'\Big(g(t)\Big)\cdot g'(t)= \bigg(f_t\Big(g(t)\Big) & f_y\Big(g(t)\Big)\bigg) \cdot\begin{pmatrix} 1 \\ y'(t) \end{pmatrix}=f_t\Big(g(t)\Big) + f_y\Big(g(t)\Big)\cdot y'(t) \end{eqnarray}$ . ( $\begin{eqnarray} f'(\cdot) \end{eqnarray}$ ist die äußere und $\begin{eqnarray} g'(\cdot) \end{eqnarray}$ ist die innere Ableitung.) Naja jetzt muss man nur noch $\begin{eqnarray} g(t)=\begin{pmatrix} t \\ y(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ zurücksubstituieren. Dann erhält man: $\begin{eqnarray} y''(t)= f_t\begin{pmatrix} t \\ y(t) \end{pmatrix} + f_y\begin{pmatrix} t \\ y(t) \end{pmatrix}\cdot y'(t)=f_t\begin{pmatrix} t \\ y(t) \end{pmatrix} + f_y\begin{pmatrix} t \\ y(t) \end{pmatrix}\cdot f\begin{pmatrix} t \\ y(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Du hast anscheinend die partiellen Ableitungen vertauscht.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »