Linear

16.11.2010, 09:19

kosza

Linear

Meine Frage:
Hallo

Ich habe folgende aufgaben

(a)Es sei K = C. Welche der folgenden Abbildungen fi : $\begin{eqnarray*} K\Rightarrow C \end{eqnarray*}$ sind
C-linear?

(b) Es sei K = C oder K = F2. Welche der folgenden Abbildungen gi : $\begin{eqnarray*} K\Rightarrow K \end{eqnarray*}$ sind K-linear?

Mit jeweils einigen Abbildungen.

Meine Ideen:
Ich würde gerne wissen wie man C-linear und K-Linear prüft/ nach weißt.

Über die jeweiligen Körperaxiome? wenn ja welche sind es.

bzw. gibt es Beispielaufgaben die mir bei dieser aufgabe helfen können um das Prinzip wie man C-linear und K-linear beweißt?

16.11.2010, 09:51

Mazze

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K-Linear heisst nur, dass die Abbildung linear Bezüglich der Elemente in K ist. Etwa ist

$\begin{eqnarray*} f(x) = x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine R-lineare Abbildung. Anders ausgedrückt, ist K ein Körper und V ein Vektorraum über K, dann heisst eine Abbildung

$\begin{eqnarray*} f : V \to V \end{eqnarray*}$

K-linear , wenn

$\begin{eqnarray*} f(x + y) = f(x) + f(y) ~ \forall x,y \in V \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} f(\lambda x) = \lambda f(x) ~ \forall \lambda \in K, x \in V \end{eqnarray*}$

gilt.

16.11.2010, 15:06

kosza

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und c-linear???

16.11.2010, 15:45

Mazze

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C ist auch ein Körper. K-linear ist die allgemeinste Form. R-linear und C-linear sind Spezialfälle (nämlich K = C bzw. K = R). Sprich, die einzige "Leistung" wäre es gewesen, in der obigen Definition K durch C zu ersetzen.

16.11.2010, 15:46

kosza

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also die Abbildungen lauten bei b)
g1(x)=8x
g2(x)=x+8
g3(x)=x+1
g4(x)=x²
95(x)=x²+x

die sind bei mir alle K-linear

oder soll ich die kombinationen untersuchen
mir scheint es nähmlich ein bisschen zu einfach

16.11.2010, 16:08

Mazze

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Wie hast Du denn nachgewiesen, dass die Funktionen K-linear sind? Da sind nämlich einige dabei, die es nicht sind.

16.11.2010, 16:13

kosza

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ja nach den beidenn regel die du mir gegeben hast

aber es schien mir komisch

welche nummern sind den falsch?

16.11.2010, 16:19

Mazze

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Beispielsweise ist g_2 nicht C-linear:

Denn

$\begin{eqnarray*} g_2(x + y) = x + y + 8 \neq x + y + 8 + 8 = x + 8 + y + 8 = g_2(x) + g_2(y) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , also ist

$\begin{eqnarray*} g_2(x + y) \neq g_2(x) + g_2(y) \end{eqnarray*}$

und damit ist g_2 nicht linear. Wleche Funktionen nicht linear sind, findet man durch entsprechende Gegenbeispiele raus.

16.11.2010, 16:22

kosza

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groschen gefallen danke
ich muss in g(x+y) sehen das x=x+y in der gleichung ist

in in g(x)+g(y) es jeweils 2 terme sind oder?

16.11.2010, 17:53

kosza

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zu a)
habe erst 2 abbildungen überprüft
die sind bei mir c-linear
f1(x,y)=(y,-x)
f2(x,y)=(x-y,x+4y)

stimmt es

und die dritte
f3 (x,y)=(x-y,x-1)
nich c-linear???

16.11.2010, 19:09

kosza

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zu b)
jetzt ist nur noch g1 k-linear
stimmt das?

17.11.2010, 10:45

Mazze

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Zitat:

ich muss in g(x+y) sehen das x=x+y in der gleichung ist

Die Gleichung x = x + y ergibt nur Sinn wenn y = 0 ist. Mir ist nicht klar was Du meinst.

Zitat:

habe erst 2 abbildungen überprüft
die sind bei mir c-linear
f1(x,y)=(y,-x)
f2(x,y)=(x-y,x+4y)