Zahlentheorie GGT

15.11.2006, 15:01

piloan

Zahlentheorie GGT

so noch eine letzte sache fuer diese woche in zahlentheorie..

ich soll den $\begin{eqnarray*} ggt( a^{2^{m}}+1,a^{2^{n}}+1) \end{eqnarray*}$ bestimmen...und mit hilfe des falls a=2, dass es unendlich viele primzahlen gibt

so hab ich mit dem euklidischen algorithmus probiert.

$\begin{eqnarray*} a^{2^{m}}+1=(a^{2^{n}}+1)*a^{2^m-2^n}-a^{2^m-2^n}+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^{2^{n}}+1=(-a^{2^m-2^n}+1)*(-a^{2*2^n-2^m})-a^{2*'2^n-2^m}+1 \end{eqnarray*}$

aber hier werde ich doch nie bis zum rest kommen ausserden habe ich ja angenommen, dass m>n ist und dann ist zb im 2.schritt schon unklar wie sich

$\begin{eqnarray*} (-a^{2*2^n-2^m}) \end{eqnarray*}$ verhaelt ...wir sind ja wieder im natuerlichen fuer a,m,n

gruß

15.11.2006, 18:11

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Der Fall $\begin{eqnarray*} m=n \end{eqnarray*}$ ist trivial, nehmen wir also o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} m<n \end{eqnarray*}$ an und setzen der Einfachheit halber mal $\begin{eqnarray*} x:=a^{2^m} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k:=2^{n-m} \end{eqnarray*}$ , wegen $\begin{eqnarray*} n>m \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ stets eine gerade Zahl. Es folgt $\begin{eqnarray*} a^{2^n} = a^{2^m\cdot 2^{n-m}} = \left( a^{2^m} \right)^{2^{n-m}} = x^k \end{eqnarray*}$ und wegen

$\begin{eqnarray*} x^k-1 = (x+1)(x^{k-1}-x^{k-2}+-\cdots -x^2+x-1) \end{eqnarray*}$

folgt dann $\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}\left( a^{2^m}+1, a^{2^n}+1 \right) = \operatorname{ggT}\left( x+1, x^k+1 \right) = \operatorname{ggT}\left( x+1, 2 \right) = \operatorname{ggT}\left( a^{2^m}+1, 2 \right) \end{eqnarray*}$ .

15.11.2006, 18:37

piloan

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somit ist der

$\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}\left( a^{2^m}+1, 2 \right) \end{eqnarray*}$ fuer $\begin{eqnarray*} a=2j=1 , a=2j+1=2 \end{eqnarray*}$ fuer $\begin{eqnarray*} j \in N \end{eqnarray*}$

in worten ...fuer a gerade ist der ggt gleich 1 sonst 2...richtig ? Big Laugh

gruß

15.11.2006, 18:57

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Die Wortvariante gefällt mir besser... Freude

15.11.2006, 19:16

piloan

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wenn ich nun $\begin{eqnarray*} ggt( 2^{2^{m}}+1,2^{2^{n}}+1) \end{eqnarray*}$
betrachte, was ja im zweiten teil verlangt wird, dann seh ich das der

$\begin{eqnarray*} ggt( 2^{2^{m}}+1,2^{2^{n}}+1) =1 \end{eqnarray*}$ ist, somit sind alle zahlen fuer $\begin{eqnarray*} m\neq n \end{eqnarray*}$ teilerfremd. nun weiss ich auch dass die folgenden zahlen die Fermat- Zahlen sind ....nur die teilerfremdheit reicht ja nicht aus um eine unendlichkeit von primzahlen zu zeigen

15.11.2006, 19:25

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Doch, wenn du noch ein wenig nachdenkst...

15.11.2006, 20:25

piloan

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also auf ein neues....
fuer a=2 gilt:

nun habe ich eine menge von fermat zahlen, die alle ungerade sind und somit nur eins als teiler haben und dazu ist die folge noch monoton steigend.
jetzt kommt dazu das natürliche Zahlen mindestens einen Primfaktor haben , und durch Teilerfremdheit stell ich sicher, dass verschiedene Zahlen auch verschiedene Primzahlen liefern. da die menge unbeschraenkt nach oben ist,ist das der beweis fuer die unendlichkeit von primzahlen....

so reicht das in worten und ist das richtig ?....in formeln weiss ich nciht genau wie man das ausdrueckt....aber ich glaube der weg ist richtig

gruß Augenzwinkern

15.11.2006, 20:33

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Ja, ist richtig.

Man kann auch iterativ argumentieren: Jedes neue Folgenglied $\begin{eqnarray*} a_n= 2^{2^n}+1 \end{eqnarray*}$ kann nur Primfaktoren enthalten, die in allen vorherigen Folgengliedern nicht enthalten waren, also mindestens einen neuen - und das jetzt für alle n ergibt unendlich viele Primfaktoren für diese Folge.

16.11.2006, 15:07

piloan

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Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} x^k-1 = (x+1)(x^{k-1}-x^{k-2}+-\cdots -x^2+x-1) \end{eqnarray*}$

jetzt will ich das gerade noch ma nachvollziehen und nu komm ich nicht mehr dahinter wofuer der schritt war Hammer

16.11.2006, 15:26

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Der euklidische Algorithmus benutzt ja auch nichts weiter als die folgende ggT-Eigenschaft:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{ggT}(u,v) = \operatorname{ggT}(u,v-wu) \end{eqnarray*}$ für beliebige ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} u,v,w \end{eqnarray*}$ .

Und genau diese Eigenschaft hab ich oben genutzt, und zwar mit $\begin{eqnarray*} u=x+1,v=x^k+1,w=x^{k-1}-x^{k-2}+-\cdots-+x-1 \end{eqnarray*}$

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