Primelemente der Gaußschen Zahlen

16.11.2010, 12:59	Riemannson	Auf diesen Beitrag antworten »
Primelemente der Gaußschen Zahlen Hallo, die Primelemente der Gaußschen Zahlen (Norm < 27) sind doch zuerst alle Primzahlen kleiner 27, diese dann noch mit nem i und jetzt die Frage auch die deren Norm eine Primzahl ist? Gruß
16.11.2010, 13:53	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Primelemente der Gaußschen Zahlen Nein, nicht alle Primzahlen. Ja, die mit Faktor i auch. Nein, das Normquadrat durchläuft nicht alle Primzahlen.
16.11.2010, 14:14	Riemannson	Auf diesen Beitrag antworten »
nur die Primzahlen bis 5 oder also 2,3,5?
16.11.2010, 16:02	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann meinst du aber gar nicht «Norm < 27», sondern «Norm² < 27». (Wikipedia: Primelemente bei Gaussschen Zahlen)
16.11.2010, 19:02	Riemannson	Auf diesen Beitrag antworten »
die norm verläuft vllt nicht durch alle primelemente, jedoch falls die norm eine primzahl ist, so ist die zahl zu dieser norm primelement...richtig?
16.11.2010, 20:39	Riemannson	Auf diesen Beitrag antworten »
ich denke alle Primelemente sind folgende: $\begin{eqnarray} (\pm 1 \pm i), \ \ (\pm 2 \pm i), \ \ (\pm 1 \pm 2i), \ \ (\pm 2 \pm 3i), \ \ (\pm 3 \pm 2i), \ \ (\pm 1 \pm 4i), \ \ (\pm 4 \pm i) \ \ (\pm 3), \ \ (\pm 3i) \end{eqnarray}$ das sind 32 und sollten alle sein (oder erhebt jemand einspruch???) und wenn ich jetzt die assoziierten weglasse sind es genau 8 also alle ohne plus/minus! Ich hoffe das ist richtig! vllt kanns jmd bestätigen, verbessern oder widerlegen Danke!
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16.11.2010, 21:13	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja.
16.11.2010, 21:37	Riemannson	Auf diesen Beitrag antworten »
recht herzlichen Dank (p.s.: wikipedia war sehr hilfreich!)
16.11.2010, 21:39	Riemannson	Auf diesen Beitrag antworten »
ABER mir fällt gerade auf warum ist denn 3 dabei?
16.11.2010, 21:55	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann zeigen ist $\begin{eqnarray} p\in\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ prim und $\begin{eqnarray} p\equiv -1 \pmod 4 \end{eqnarray}$ , dann folgt $\begin{eqnarray} p\in\mathbb{Z}[i] \end{eqnarray}$ prim. Man kann die Primelemente von $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}[i] \end{eqnarray}$ sogar vollständig klassifizieren, denn jedes Primelement ist von folgender Gestalt (bis auf Assoziiertheit): - $\begin{eqnarray} p\in\mathbb{P}, ~ p\equiv -1 \mod 4 \end{eqnarray}$ (s.o.) - $\begin{eqnarray} p, ~ \overline{p}\in\mathbb{Z}[i] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \nu(p)=\nu(\overline p)\equiv 1 \mod 4 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \nu(p) \end{eqnarray}$ prim ( $\begin{eqnarray} \nu \end{eqnarray}$ ist die übliche Norm auf $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}[i] \end{eqnarray}$ ) - $\begin{eqnarray} 1+i \end{eqnarray}$

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