Sandwichkriterium

17.11.2010, 14:16

üpo0

Sandwichkriterium

Meine Frage:
Hallo

Bestimmen Sie unter Verwendung des Sandwichkriteriums und der Bernoullischen Ungleichung den Grenzwert der Folge (n Element der Natürlichen Zahlen):

$\begin{eqnarray*} a_{n} = ( 1 - \frac{1}{n^{2} }) ^{n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
das sandwichkriterium lautet ja dass wenn a(n) und c(n) den selben grenzwert haben, dass die dazwischen liegende folge b(n) den selben grenzwert hat.

soll ich mir jetzt eine folge für a(n) und c(n) denken ? zb. b(n) = 1/n, und c(n) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2} } \end{eqnarray*}$

dh.
$\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{n^{2}})^{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 1/n $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2} } \end{eqnarray*}$

was mach ich aber mit der bernouillschen ungleichung?
danke für eure hilfe smile

17.11.2010, 14:50

klarsoweit

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RE: Sandwichkriterium

Zitat:

Original von üpo0
$\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{n^{2}})^{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 1/n $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2} } \end{eqnarray*}$

Was schon für n=2 nicht stimmt, wie man leicht nachrechnet. Allein schon bei $\begin{eqnarray*} \frac 1 n \leq \frac{1}{n^{2} } \end{eqnarray*}$ sollte ins Auge springen, daß das für n > 1 falsch ist, wenn man mal die Ungleichung mit n² multipliziert.

Du mußt dir schon andere Folgen für das Sandwich ausdenken. Und da hilft die Bernoulii-Ungleichung.

18.11.2010, 12:54

üpo0

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wäre es dann

$\begin{eqnarray*} (1 - \frac{1}{n^{2} }) ^{n} \leq 1 + nx \leq (1+x)^{n} \end{eqnarray*}$

?

18.11.2010, 13:23

klarsoweit

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Zitat:

Original von üpo0
$\begin{eqnarray*} 1 + nx \leq (1+x)^{n} \end{eqnarray*}$

Das stimmt, denn das ist die Bernoulli-Ungleichung

Zitat:

Original von üpo0
$\begin{eqnarray*} (1 - \frac{1}{n^{2} }) ^{n} \leq 1 + nx \end{eqnarray*}$

Das hat in dieser Weise miteinander nichts zu tun. Rechts steht ein x, links kommt kein x vor.

Warum wendest du auf $\begin{eqnarray*} (1 - \frac{1}{n^2})^n \end{eqnarray*}$ nicht mal die Bernoulli-Ungleichung an?

18.11.2010, 17:16

üpo0

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Zitat:

Warum wendest du auf $\begin{eqnarray*} (1 - \frac{1}{n^2})^n \end{eqnarray*}$ nicht mal die Bernoulli-Ungleichung an?

meinst du:

$\begin{eqnarray*} -(-1 + \frac{1}{n^2})^n \geq - (-1 + \frac{1}{n} ) \end{eqnarray*}$

18.11.2010, 17:31

René Gruber

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Zitat:

Original von üpo0
$\begin{eqnarray*} -(-1 + \frac{1}{n^2})^n \geq - (-1 + \frac{1}{n} ) \end{eqnarray*}$

Diese mit unnötigen Vorzeichen verunstaltete Bernoulli-Ungleichung ist für alle geraden n falsch. Warum nicht direkt, also

$\begin{eqnarray*} \left(1 - \frac{1}{n^2} \right)^n \geq 1 - \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ?

18.11.2010, 18:18

üpo0

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ok, ich dachte nur weil in der benouille ungleichung ein plus steht, dass ich die gleichung dann auch in der selben form dastehen haben sollte...

kann ich nun schon durch umformen der gleichung den limes herausfinden?

19.11.2010, 08:49

klarsoweit

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Ja, kannst du (ich hoffe es zumindest), wobei es sich um eine Ungleichung handelt. Und großartiges Umformen ist auch nicht erforderlich. Betrachte

$\begin{eqnarray*} 1 \geq \left(1 - \frac{1}{n^2} \right)^n \geq 1 - \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und bilde mal von der linken bzw. rechten Seite den Grenzwert für n gegen unendlich.

19.11.2010, 13:13

üpo0

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der grenzwert von 1 ist 1
und von 1 - 1/n ist er 1, da 1/n 0 ist

somit ist der grenzwert des mittleren terms auch 1

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