Banach's schöner Fixpunktsatz (Anwendungsbeispiel)

17.11.2010, 14:47	Shortstop	Auf diesen Beitrag antworten »
Banach's schöner Fixpunktsatz (Anwendungsbeispiel) Hey =) Also, in Numerik haben wir eine (auf den ersten Blick eigentlich einfache) ÜA zum Banach'schen Fixpunktsatz bekommen: Zeigen Sie mit dem B'schen FP-Satz, dass es reelle Zahlen x und y gibt mit: $\begin{eqnarray} x=\frac{1}{40}x^2 + 2y +\frac{2}{25}y^2 -\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=\frac{1}{20}x^2 + 3x +\frac{1}{100}y^2 -1 \end{eqnarray}$ Soweit so gut. Den Satz habe ich verstanden und das Problem auch. Also lege ich los: $\begin{eqnarray} F(x,y)=(\frac{1}{40}x^2 + 2y +\frac{2}{25}y^2 -\frac{1}{2},\frac{1}{20}x^2 + 3x +\frac{1}{100}y^2 -1) \end{eqnarray}$ zz: $\begin{eqnarray} \|\|F(a,b)-F(c,d)\|\|\le q\|\|(a,b)-(c,d)\|\| \ \, q<1 \end{eqnarray}$ . Also setze ich munter ein und forme um .... forme um ... forme weiter um ... komme zu dem Ergebnis dass ich keine Vernünftige Abschätzung hinkriege. 2. Idee: Der Schrankensatz besagt, dass falls $\begin{eqnarray} \|\|DF(x,y)\|\|\le C \end{eqnarray}$ folgt: $\begin{eqnarray} \|\|F(a,b)-F(c,d)\|\|\le C\|\|(a,b)-(c,d)\|\| \end{eqnarray}$ Also müsste ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} \|\|DF(x,y)\|\|=\|\| \begin{pmatrix} \frac{1}{20}x && 2+\frac{4}{25}y \\ 3+\frac{1}{10}x && \frac{1}{50}y \end{pmatrix}\|\| < 1 \end{eqnarray}$ ist. Dies ist aber auch nicht der Fall... Hat jemand eine Idee?
17.11.2010, 15:26	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Passende Intervalle finden auf denen $\begin{eqnarray} F(x,y) \end{eqnarray}$ Selbstabbildung und Kontraktion ist... was gar nicht so einfach ist...
17.11.2010, 16:11	Shortstop	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, wie geh ich das konkret an? Ich weiss das die beiden Gleichungen Ellipsen sind, die sich an 2 Punkten schneiden. Einer davon ist (0.49... , 0.49...). ABER: Man sieht ja gleich, dass die Norm der Ableitungsmatrix für positive x,y (wie eben in diesem Punkt) garantiert nicht kleiner als 1 ist. Das ist doch ein Widerspruch in sich...das hiesse ja, im Fixpunkt (und Umgebung) ist F keine Kontraktion. Scheißaufgabe...
17.11.2010, 17:14	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Gilt im Schrankensatz die Umkehrung? Falls ja, hast du recht. Falls nein, kannst du dich nicht auf die Ableitungsmatrix verlassen.

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