Tripelspiegel - Vektorrechnung

17.11.2010, 15:26	y0sh1	Auf diesen Beitrag antworten »
Tripelspiegel - Vektorrechnung Hallo ich belege einen Mathematik Leistungskurs an einem Gymnasium in NRW und habe hier ein Problem : Aufgabenstellung : Ein Tripelspiegel besteht aus drei je paarweise orthogonalen ebenen Spiegeln , die von quadratischer Form mit 10 LE(Längeneinheiten) Seitenlänge sind. a) Zur Vereinfachung wird der Tripelspiegel so in ein räumliches Koordinatensystem gelegt, dass jeder der drei Spiegel auf jeweils einer der Koordinatenebenen liegt. Ein Laserblitz wird vom Punkt P(23/53/29) aus in Richtung des Vektors \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} geschossen. Zeigen Sie, dass der Lichtstrahl den Tripelspiegel trifft. Welche der drei Spiegelflächen trifft er zuerst? b) Erklären Sie anhand einer Skizze wie man im Allgemeinen den RichtungsVektor erhählt, in dessen Richtung der gespiegelte Strahlverläuft. Geben Sie eine Gleichung der Geraden an auf welcher der Laserblitz nach der Spiegelung an der ersten Spiegelfläche verläuft. c) Eine Gerade g mit dem Richtungsvektor \vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} wird an der x_{1}x_{2} - Ebene gespiegelt. Wie lautet der Richtungsvektor der gespiegelten Gerade? Was ändert sich, wenn Sie die Gerade g anstatt an der x_{1}x_{2} - Ebene an der x_{1}x_{3} - Ebene bzw. an der x_{2}x_{3} - Ebene spiegeln? Wie verläuft demnach ein Lichtstrahl der nacheinander an allen drei Spiegelflächen des Tripelspiegels gespiegelt werden, nach der Reflexion? d) Verfolgen Sie den weiteren Weg des Laserblitzes aus a). Wird er an allen drei Spiegelflächen gespiegelt? Auf welcher Geraden verlässt er den Tripelspiegel? Wie groß ist der Abstand zwischen ein- und ausfallendem Strahl? e) Die Laufzeit eines Laserblitzes von der Erde zum Mond und zurück wurd emit 2,55s gemessen. Welcher Wert ergibt sich hiermit für die Entfernung vom Teleskop zum Tripelspiegel?
29.03.2017, 17:11	Userman97	Auf diesen Beitrag antworten »
Geometrie Ich hätte gerne einen Lösungsansatz dazu, da ich auch diese Aufgabe hab
29.03.2017, 17:34	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geometrie Hübsch alte Aufgabe, leider damals unbeachtet... a) Bis zum ersten Auftreffen auf eine der drei Begrenzungsebenen des Tripelspiegels wird der Strahl durch $\begin{align} \vec{x}(t) = \begin{pmatrix}23\\53\\29\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix}-1\\-2\\-1\end{pmatrix} \end{align}$ mit $\begin{align} t\geq 0 \end{align}$ beschrieben. Es ist nun das kleinste positive $\begin{align} t \end{align}$ so gesucht, dass eine Koordinate von $\begin{align} \vec{x}(t) \end{align}$ zu Null wird, und das ist $\begin{align} t^ = \min\left\{ \frac{23}{1},\frac{53}{2},\frac{29}{1}\right\} = 23 \end{align}$ mit dann $\begin{align} \vec{x}(23) = \begin{pmatrix}0\\7\\6\end{pmatrix} \end{align}$ , und das ist der Punkt, an dem der Spiegel zuerst getroffen wird, er liegt also in der yz-Ebene. b) Hinweis: Der neue Richtungsvektor nach der ersten Reflexion in dem in a) genannten Punkt lautet $\begin{align} \begin{pmatrix}1\\-2\\-1\end{pmatrix} \end{align}$ . c) Nachdenken, basierend auf den Erkenntnissen von b) ! d) Aufbauend auf a),b): Das nächste Teilstück (Uhr wird hier wieder auf "Null" gestellt) kann man durch $\begin{align} \vec{x}(t) = \begin{pmatrix}0\\7\\6\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\-1\end{pmatrix} \end{align}$ mit $\begin{align} t\geq 0 \end{align}$ beschreiben. Wenn man eine einheitliche Zeitskale für den gesamten Strahlenweg bevorzugt, dann würde man es aber eher so schreiben: $\begin{align} \vec{x}(t) = \begin{cases} \begin{pmatrix}23\\53\\29\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix}-1\\-2\\-1\end{pmatrix} & \;\mbox{für}\;0\leq t\leq 23\\<br /> \begin{pmatrix}0\\7\\6\end{pmatrix} + (t-23)\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\-1\end{pmatrix} & \;\mbox{für}\;23\leq t\leq ?\end{cases} \end{align*}$ , wobei ? für den Zeitpunkt der Reflexion an der nächsten Spiegelwand steht. e) Die genauen vektoriellen Betrachtungen zum Tripelspiegel in a)-d) spielen hier keine Rolle, hier geht es quasi nur darum, ob man mit dem Begriff Lichtgeschwindigkeit was anfangen kann.

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