Automorphismus

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17.11.2010, 20:00	HH student 222	Auf diesen Beitrag antworten »
Automorphismus Meine Frage: Ich habe hier mächtig Probleme mit einer Aufgabe. Sie ist unterteilt in a b und c und ich hänge leider schön völlig bei a . Naja ich hoffe hier kann mir wer helfen . Also es geht darum. Das ich einen Automorphismus beweisen muss. Nun noch die genaue Aufgabe: Sei G eine endliche Gruppe und h element von G ein beliebiges ihrer Elemente. Dann gibt es die Abbildungen C( index h ) : G geht gegen G und die andere g geht gegen hgh(wobei das letzte h das Inverse von h ist). a) Zeigen sie das für alle C( index h ) alle h element von G ein Automorphismus von G ist. Wenn das geschafft wäre und noch wer Lust hat würde ich dann danach auch noch gerne b und c posten . Meine Ideen: Also ich habe zunächst bewiesen das es sich um einen Homomorphismus handelt. Das hat so wie ich das einschätzen kann auch noch gut funktioniert. Der nächste Schritt muss nun ja sein zu zeigen das es sich um einen Isomorphismus handelt. Dafür muss ich Zeigen das es Bijektiv ist und ein Inverses hat das auch ein Homomorphismus ist. Nur wie stelle ich das an ???
17.11.2010, 20:20	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuche es mal mit der Abbildung $\begin{eqnarray} C_{h^{-1}} \end{eqnarray}$ .
17.11.2010, 20:22	HHStudent 223	Auf diesen Beitrag antworten »
wie mach ich das denn ? sorry ich hab leider keine ahnung wie ich das machen soll
17.11.2010, 20:28	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst zeigen, dass $\begin{eqnarray} C_h\circ C_{h^{-1}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C_{h^{-1}}\circ C_h \end{eqnarray}$ jeweils gerade die Identität auf $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ist und das geht durch einsetzen und nachrechnen.
17.11.2010, 20:31	HH Student 224	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie mache ich das denn und beweise ich dadurch die bijektivität ? Und wenn ich was einsetzte setzet ich dann hg(inverses von H) oder was mache ich dann da?
17.11.2010, 20:35	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann hast du gezeigt, dass die eine Abbildung die Umkehrabbildung der anderen ist. Das zeigt die Bijektivität. Um zb zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} C_h\circ C_{h^{-1}} \end{eqnarray}$ die Identität ist musst du nachrechnen, dass $\begin{eqnarray} C_h(C_{h^{-1}}(g))=g \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} g\in G \end{eqnarray}$ gilt. Wie gesagt, einfach nach Definition einsetzen.
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17.11.2010, 20:39	HH student 23434	Auf diesen Beitrag antworten »
Also habe ich jetzt dann. Ch ( das inverse zu g ) = g Also ( (hg(inversevon h ) )((inverse von h)( inverse von g) H) = g und damit is das dann bewiesen ???
17.11.2010, 20:41	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Du verzeihst mir, aber das kann ich nicht lesen. Bitte nutze den Formeleditor. Und ja, ich habe dir gesagt du musst überprüfen, dass die beiden Abbildungen genau die Identität ergeben, dann folgt die Behauptung.
17.11.2010, 20:46	HH student 1000000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ch ( das inverse zu g ) = g Also ( (hg(inversevon h ) )((inverse von h)( inverse von g) H) = g C $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ (g) (g^-1) = g (hg^-1) (h^-1g^-1h) = g is das jetzt besser verständlich was ich vorhabe ?
17.11.2010, 21:17	Hh Student 1mio 1	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe das jetzt noch einmal schriftlich gemacht und dann habe ichnoch en Hormomophismus für die Inverse Bewiesen somit habe ich jetzt doch den Isomorphismus bewiesen oder ?
18.11.2010, 11:34	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe das immernoch nicht. Vor allem besteht Mathematik nicht darin irgendwelche Buchstaben hinzuschreiben und dem Leser das Raten zu überlassen. Also mal ordentlich: Sei $\begin{eqnarray} g\in G \end{eqnarray}$ beliebig. $\begin{eqnarray} C_{h^{-1}}(C_h(g))=C_{h^{-1}}(hgh^{-1})=h^{-1}(hgh^{-1})(h^{-1})^{-1}=? \end{eqnarray}$ Dass das Inverse ein Homomorphismus ist hast du bereits bewiesen wenn du gezeigt hast, dass $\begin{eqnarray} C_h \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} h\in G \end{eqnarray}$ ein Homomorphismus ist [und $\begin{eqnarray} h^{-1} \end{eqnarray}$ liegt schliesslich auch in $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ].
18.11.2010, 18:15	HH student 1000002	Auf diesen Beitrag antworten »
naja dann bekomme ich ja wieder g heraus oder ? da sich ja die beiden h am Anfang und ende ja gegenseitig auflösen. Somit is aufgabe a fertig danke danke. Der nächste Punkt befasst sich mit den Normalteilern ich hab mirdazu was durchgelesen aber verstehe nicht so recht was damit gemeint sein soll. Also die Aufgabe b) ist das Wenn U teilmenge G ein Normalteiler von G ist dass dann auch C $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ (U) ein Normalteiler von G ist. Entschuldigung das ich so überhaupt keine Ahnung habe und nochmal Danke Danke für die Hilfe
18.11.2010, 19:50	Hh Student 1mio 1	Auf diesen Beitrag antworten »
Keiner eine Idee ? Komme momentan enfach nicht weiter
18.11.2010, 19:53	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch hier hilft es nachzurechnen und bevor du das tust: Wenn du offensichtlich nicht weisst was ein Normalteiler ist, dann ist es klar dass du nicht weisst was du überprüfen musst. Also Definition nachschlagen und genau das was dort steht musst du nachrechnen.
18.11.2010, 20:05	Hh Student 1mio 11	Auf diesen Beitrag antworten »
okay also ich habe mir da jetzt was zu gesucht also ich weiß nich genau aber die Defintion auf wikipedia ist gar nich so schlecht demnach muss ich ja nur die ersten beiden Bedingungen beweisen. Aber irgendwie kann ich auch nich erkennen das das mehr ist als diese beiden Bedingungen. Also muss ich jetzt C $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ (U) = G ausrechnen um meine AUfgabe zu lösen oder?
19.11.2010, 11:33	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreib doch einfach mal die Definition hin: $\begin{eqnarray} U\subset G \end{eqnarray}$ ist ein Normalteiler, das heisst ... . Und die Bedingung die bei den Pünktchen steht, genau diese musst du für $\begin{eqnarray} C_h(U) \end{eqnarray}$ nachrechnen.
21.11.2010, 17:31	spleety	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich muss die geliche aufgabe machen und hab folgendes geschrieben. meine frage ist, obs so okay is und stimmig oder ich da iwie murks mache xD Sei h g h^-1 aus C(index h)(U) für h aus G und g aus U so muss h C(index h)(U) = C(index h)(U) h . Sei nun x aus h C(index h)(U) dann gibt es ein g aus C(index h) (U) mit x= h g. erweitert man das mit h^-1 erhält man x h^-1 = h g h^-1 . h g h^-1 is ja aus C(index h) (U), also muss auch x h^-1 aus C(index h)(U) sein. nun setzen wir x = x h^-1 h und dementsprechend x aus C(index h)(U) h folgt. da x beliebig aber fest ist, stimmt die Behauptung h C(index h)(U) = C(index h)(U) h . fertig????

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