Affine Abbildungen / Analytische Geometrie

17.11.2010, 21:23

Evelyn89

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Affine Abbildungen / Analytische Geometrie

Hallo!
Ich habe hier eine Aufgabe bei der ich nicht weiterkomme.

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die affine Abbildung $\begin{eqnarray*} \Psi_{w,A}:\mathbb R^3 \to \mathbb R^3 \text{ mit } \Psi_{w,A}(x)=w+Ax \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} w=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{15}\begin{pmatrix} 14 &-2&-5\\ -2&11&-10 \\ -5&-10&-10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

1.) Beschreibe die Abbildung $\begin{eqnarray*} \Psi_{w,A} \end{eqnarray*}$ geometrisch.

Mein Ansatz:

Ich habe die Menge aller Fixpunkte bestimmt. Sie stellt eine Ebene dar.
Und wenn ich mir die Matrix A anschaue, stelle ich fest, dass sie symmetrisch ist,
also $\begin{eqnarray*} A=A^T \end{eqnarray*}$ und ihre Spalten/Zeilen zueinander orthogonal sind,
also eine Orthogonalbasis bilden.
Kann ich da irgendwas über die Geometrie der Abbildung $\begin{eqnarray*} \Psi \end{eqnarray*}$ sagen?
Mir fällt da leider nichts zu sein... traurig

traurig

Würde mich über jede Hilfe freuen!

18.11.2010, 13:55

Evelyn89

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Kann mir da wirklich niemand helfen?
Ich glaube, dass die Aufgabe gar nicht so schwer ist, aber irgendwie stehe ich total auf dem Schlauch. Würde mich wirklich freuen....

18.11.2010, 18:10

Reksilat

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Hi Evelyn,

Du solltest Dir insbesondere die Matrix A mal genau anschauen. Da sie orthogonal ist, ist sie längenerhaltend und somit eine Drehung, Spiegelung oder Drehspiegelung. Untersuche sie doch mal auf Eigenwerte und vor allem Eigenvektoren.

Gruß,
Reksilat.

EDIT: Und der Threadtitel ist etwas abschreckend, denn Affine Geometrie ist das hier nicht . Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.11.2010, 20:17

Evelyn89

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Danke für den Hinweis. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Habe den Titel gleich geändert. Habe mir unter den Begriff etwas anderes vorgestellt.
Eine Frage vorab:
Warum beschreiben orthogonale Matrizen immer längenerhaltene Abbildungen?

Jedenfalls habe ich nun die Eigenwerte bestimmt, das wären:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1=-1 ~, ~\lambda_2=1~\text{ und } \lambda_3=1 \end{eqnarray*}$

Die Eigenvektoren habe ich auch bestimmt:

$\begin{eqnarray*} v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} , v_2=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}, v_3=\begin{pmatrix} -5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mir fällt auf , dass der 1. EV $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ zu den anderen beiden orthogonal ist, aber die beiden EV´en $\begin{eqnarray*} v_2 \text{ und } v_3 \end{eqnarray*}$ nicht senkrecht aufeinander stehen.

Aber ich kann mit diesen Informationen leider nichts anfangen.
Ich weiß überhaupt nicht was mir das über die Geometrie der affinen Abbildung $\begin{eqnarray*} \Psi_{w,A} \end{eqnarray*}$ sagt.

Edit: Ich habe in einem anderen Aufgabenteil noch die Menge aller Fixpunkte von $\begin{eqnarray*} \Psi_{w,A} \end{eqnarray*}$ bestimmt. Kann ich das hier irgendwie gebrauchen?

18.11.2010, 20:28

Reksilat

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Orthogonale Abbildung werden sogar meist als längenerhaltend definiert. (Siehe hier)

Dass $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_3 \end{eqnarray*}$ bei Dir nicht senkrecht aufeinander stehen, lässt sich leicht beheben. Immerhin sind es Eigenvektoren zum gleichen Eigenwert und somit gibt es auch ein Orthogonalbasis zum Eigenraum $\begin{eqnarray*} V(1)=\langle v_2,v_3\rangle \end{eqnarray*}$ .

Damit kannst Du eine Orthonormalbasis für den ganzen $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ aus Eigenvektoren basteln. Welche Matrix hat dann $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bezüglich dieser Basis? Wie würdest Du diese geometrisch interpretieren?

18.11.2010, 20:30

Evelyn89

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Was meinst du mit " Welche Matrix hat dann $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bezüglich dieser Basis?"??

Meinst du vielleicht welche Gestalt A hat?
Ich vermute mal ganz platt, dass es eine Diagonalmatrix sein wird oder?
Soweit ich weiß sind relle symmetrische Matrizen mit Basen aus EV´en diagonalisierbar.
Ist es das?

Und was bedeutet V(1)? Soll das der Eigenraum zum Eigenwert 1 sein?
Aber wieso dann $\begin{eqnarray*} V(1)=<v_2,v_3> \end{eqnarray*}$ .
Links wäre eine Menge und rechts eine Zahl. Das verstehe ich irgendwie nicht.... verwirrt

verwirrt

Edit: Achso!! Du meintest den Spann/Ereugendensystem und nicht das Skalarprodukt.
Jetzt verstehe ich. Ich gehe das jetzt nochmal durch.

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18.11.2010, 20:43

Reksilat

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Mit $\begin{eqnarray*} \langle ...\rangle \end{eqnarray*}$ bezeichnet man auch das Erzeugnis, also $\begin{eqnarray*} \langle ...\rangle=\rm{span} (...) \end{eqnarray*}$ . Sorry!

Die Frage, welche Matrix A bezüglich einer Basis hat, scheint mir allerdings ziemlich eindeutig. Ja, es ist eine Diagonalmatrix, mit den Eigenwerten auf der Diagonalen.
Nun ist es (geometrisch gesehen) ziemlich egal, bezüglich welcher Basis Du die Abbildung betrachtest. Um zu verstehen, was die lineare Abbildung A eigentlich macht, reicht es also, Dir diese Diagonalmatrix anzuschauen.

18.11.2010, 21:04

Evelyn89

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Ich habe jetzt $\begin{eqnarray*} v_1,v_2,v_3 \end{eqnarray*}$ zu einer Orthogonalbasis ergänzt.

Dabei habe ich $\begin{eqnarray*} v_1,v_2 \end{eqnarray*}$ beibehalten und das Kreuzprodukt von den beiden gebildet.

Ich setze also $\begin{eqnarray*} \tilde v_3:=\begin{pmatrix} -5 \\ -10 \\5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Dann bildet die Basis $\begin{eqnarray*} B:={v_1,v_2,\tilde v_3} \end{eqnarray*}$ eine Orthogonalbasis.

Nun habe ich die Matrix A bzgl. B dargestellt und erhalte als zugehörige Darstellungsmatrix:

$\begin{eqnarray*} \hat A=\begin{pmatrix} -1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie erwartet eine Diagonalmatrix.

Ich habe das aber mit A dargestellt und nicht mit $\begin{eqnarray*} \Psi \end{eqnarray*}$ . Ist das so okay?
Weil ich dann ja den Verschiebungsvektor w außer Acht lasse... ??

Wenn ich mir die Abbildung anschaue, sehe ich, dass er immer die 1.Komponente umdreht (also negativ macht).
Ist das nicht eine Drehung um die x_1-Achse und zwar um 90°?

Sorry, aber irgendwie kann ich mir sonst nichts vorstellen, was $\begin{eqnarray*} \Psi \end{eqnarray*}$ bzw. A geometrisch machen...?? traurig

traurig

18.11.2010, 22:29

Evelyn89

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Kann jemand noch kurz bestätigen, ob das richtig ist was ich in meinen letzten Beitrag geschrieben habe?
Wäre echt nett. Ich stehe nämlich gerade sehr unter Druck und brauche das unbedingt.

19.11.2010, 09:35

Reksilat

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Bei einer Drehung um die $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ -Achse bleibt $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ fest. Das kann es also schon mal nicht sein.
Schau Dir vielleicht mal die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ an. Was macht diese da?
Dein $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ macht im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ etwas analoges. $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_3 \end{eqnarray*}$ bleiben fest, sie spannen also eine Ebene auf, die nicht verändert wird. $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ wird dagegen auf $\begin{eqnarray*} -v_1 \end{eqnarray*}$ abgebildet. Wenn Du Dir das mal an der Standardbasis veranschaulichst, wird der Vektor dabei einfach auf die andere Seite der Ebene geworfen, er wird also gespiegelt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ bewirkt also eine Spiegelung. In welchem Zusammenhang steht nun der Vektor $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ zu dieser Spiegelung?

19.11.2010, 15:14

Evelyn89

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Ja der Vektor w bewirkt ja eine Translation, also eine einfache Verschiebung um die Koordinaten von w. Das heißt die Abbildung $\begin{eqnarray*} \Psi \end{eqnarray*}$ ist eine Spiegelung mit Verschiebung. Gibt es dafür irgendeinen Begriff?

19.11.2010, 15:22

Reksilat

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Nö, denn "Spiegelung mit anschließender Verschiebung" ist ja meist genug. Hier allerdings nicht. Es gibt noch eine Besonderheit an $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ , die Dir hier auffallen müsste.
Außerdem kannst Du noch erwähnen, woran gespiegelt wird.

19.11.2010, 22:00

Evelyn89

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Es wird an der $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ -Achse gespiegelt, weil ja gerade diese Komponente negativ wird.

Also das einzige was mir an w auffällt ist, dass es nur gerade Zahlen als Einträge hat.
Ah! Und w ist Vielfaches von EV $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ , genauer: $\begin{eqnarray*} w=2\cdot v_1 \end{eqnarray*}$

Aber was bedeutet das denn geometrisch?
Eigenvektoren sorgen ja für eine Streckung/Stauchung.. hat es was damit zu tun?
Sorry, aber in analytische Geometrie bin ich wirklich ratlos.
Bei der linearen Algebra kam ich deutlich besser zurecht.
Wäre toll, wenn du mir verraten könntest was hier Sache ist. smile

smile

20.11.2010, 14:41

Reksilat

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Zitat:

Original von Evelyn89
Es wird an der $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ -Achse gespiegelt, weil ja gerade diese Komponente negativ wird.

Das ist quatsch. Wenn Du eine Spiegelung betrachtest, ist das einzige was festbleibt die Spiegelfläche selbst.
(Geh mal mit der Nasenspitze ganz nah an einen Spiegel. Du wirst sehen, dass sie das Spiegelbild berührt, wenn Du auch den Spiegel berührst.)

Das mit $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ hast Du aber richtig erkannt. Hier ist von Bedeutung, dass man die Richtung der Verschiebung sogar in Bezug zur Spiegelung angeben kann und das eben nicht nur eine willkürliche Verschiebung ist.

Gruß,
Reksilat.

20.11.2010, 16:28

Evelyn89

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Hmmm.. irgendwie werde ich aus deinen Beiträgen nicht schlau.
Bei diesem Beispiel bleiben die 2. und 3.Komponente fest.
Aber es wird doch nicht an der $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ Achse bzw. ihrer Ebene gespiegelt.... ??

Ich hab eben mal paar Vektoren rumprobiert, also $\begin{eqnarray*} \Psi(x) \end{eqnarray*}$ bestimmt und das alles geometrisch skizziert (alles natürlich im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ) , und es sieht für mich so aus als würden die Vektoren an der Gerade gespiegelt werden, die durch $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ verläuft und da $\begin{eqnarray*} w=2\cdot v_1 \end{eqnarray*}$ wird es halt an der Spiegelungs"geraden" $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ verschoben. Ist das so richtig?
Aber selbst wenn, dann könnte ich mir ehrlich gesagt immer noch nicht erklären warum an $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ gespiegelt wird. Wie erkenne ich das an meiner Matrix/Abbildung?

20.11.2010, 17:03

Reksilat

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Noch mal: Wenn ich an irgendeiner geometrischen Struktur $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ spiegele, dann bleibt diese Struktur fest.
Ich kapiere nicht, warum Du noch immer der Idee nachhängst, dass am von $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ aufgespannten Unterraum gespiegelt wird. Bei einer Spiegelung bleiben immer genau die Elemente fest, die in dem Objekt liegen, an dem gespiegelt wird.

Was Du Deiner Skizze im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ entnimmst, kann ich leider nicht beurteilen.

20.11.2010, 18:23

Evelyn89

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Wie schon gesagt habe ich mir das alles anhand von paar Vektoren versucht zu veranschaulichen und es sah so aus als würde alle Vektoren am Ereugnis von v_1 gespiegelt werden. Anscheinend liege ich da falsch.
Was eine Spiegelung ist weiß ich auch. Aber das hilft mir hier überhaupt nicht weiter.

Bitte sag mir doch einfach wie die Abbildung geometrisch zu verstehen ist und ich lasse hier alle in Ruhe.
Ich habe mich ewig mit der Aufgabe gequält, aber entweder habe ich Lücken oder bin blind, dass ich etwas übersehe. traurig

traurig

Ich erwarte von niemanden, dass er Lösungen postet, aber hier hilft alles andere nicht mehr.
(das hier ist nur eine freiwillige übungsaufgabe aus dem internet)

20.11.2010, 20:56

Reksilat

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Wenn Du weiter denkst, dass die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ eine Spiegelung an der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse bewirkt, dann wird Dir alles weitere auch nicht helfen.
Du musst eben erst verstehen, wie die Spiegelung $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ geometrisch aussieht, bevor Du Dir den Rest anschaust.

20.11.2010, 23:07

Evelyn89

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Ich habe nicht behauptet das noch zu denken. Das war nur eine Vermutung am Anfang, die ich kurz darauf wieder fallen gelassen habe.
Also die Matrix $\begin{eqnarray*} ~\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0&1 \end{pmatrix}~ \end{eqnarray*}$ bewirkt eine Spiegelung an der $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ - Achse.

Die Matrix $\begin{eqnarray*} ~\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}~ \end{eqnarray*}$ dementsprechend eine Spiegelung an der $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ Achse, also an der Ebene, die von den beiden Achsen aufgespannt wird.

21.11.2010, 10:35

Evelyn89

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Wenn das jetzt auch falsch ist, bringt es denke ich nichts mehr weiter zu diskutieren.
Ich wünsche mir, dass du mir dann einfach mal sagst was Sache ist und dann hat sich alles erledigt. Beim nächsten Mal erwarte ich dann weniger Hilfe, versprochen.

22.11.2010, 15:23

Reksilat

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Bist Du jetzt beleidigt, weil ich Dir die Lösung nicht einfach gegeben habe? verwirrt

verwirrt

Außerdem habe ich zum Beispiel hier schon ziemlich viel dazu geschrieben und einen Antwortsatz wirst Du hier von mir nicht erwarten können. Egal ob das nun eine Hausaufgabe ist, oder Du nur aus reinem Interesse daran arbeitest.
Dass ich am Sonntag keine Zeit hatte, passiert eben mal.

Das was Du jetzt geschrieben hast, ist ganz richtig. Die Analogie zur Basis $\begin{eqnarray*} \{v_1,v_2,v_3\} \end{eqnarray*}$ sollte sich mit dem Hinweis von oben auch ergeben und die Spiegelebene ist damit...? Eigentlich hast Du die Lage von $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ bezüglich der Spiegelebene ja auch schon erkannt, nur hast Du es oben falsch aufgeschrieben, da Du ja an eine andere Spiegelebene dachtest. Letztlich steht aber alles schon da.

Wenn Du noch Fragen hast, kann ich hier morgen noch mal reingucken, aber ansonsten bin ich zur Zeit im Reisestress.

Gruß,
Reksilat.

22.11.2010, 18:13

Evelyn89

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Alles klar! Vielen Dank für deine Mühe und Geduld! Gott

Gott

Wenn ich die Matrix zurücktranformiere komme ich ja darauf, dass die Abb. $\begin{eqnarray*} \Psi \end{eqnarray*}$ eine Spiegelung an der von $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_3 \end{eqnarray*}$ aufgespannten Ebene ist.
Und die Translation findet ebenso auf der Spiegelebene statt.

Ist das soweit in Ordnung?

23.11.2010, 09:06

Reksilat

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Ne, die Translation war doch ein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ und findet insofern senkrecht zur Spiegelebene statt. Sonst stimmt das so.

Gruß,
Reksilat.

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