Kommutativität

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Aenny Auf diesen Beitrag antworten »
Kommutativität
Es sei M eine nicht-leere endliche Menge mit Betrag M = m und G die Gruppe aller bijektiven Abbildungen
von M nach M. (Diese Gruppe wird mit Sm bezeichnet.) Zeigen Sie: Ist m <= 2, so ist G kommutativ. Ist
m > 2, so ist G nicht kommutativ.


ich habe leider keine Ansätze, Ideen o.ä
ich bitte um Hilfe
Evelyn89 Auf diesen Beitrag antworten »

Also, dass die Abb. für m>2 nicht kommutativ ist, kannst du mit einem Beispiel für m=3 zeigen und dann begründen warum es für m>3 auch nicht kommutativ sein kann.

Für m<=2 kannst du es ganz einfach durchrechnen. Bei m=1 ist nichts zu machen und bei m=2 stellst du die zugehörige Abbildungstafel auf und zeigst damit die Kommutativität.
 
 
Aenny Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaub ich bin zu blöd für diese aufgabe =(
Ich versteh das leider nicht...
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht findest du den Einstieg so:
Bijektionen einer endlichen Menge M -> M sind Permutationen von M.
Sie bilden folglich die «Symmetrische Gruppe» der Ordnung |M|.
Larafi Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe das gleiche probelm wie aenny....ich habe doch gar keine fktn oder so, wo ich mein wert für m einsetzen kann...wie soll ich denn dann zeigen, dass es für alle m kleiner gleich 2 gilt??
bitte um hilfe..............
Larafi Auf diesen Beitrag antworten »

Hiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiilfeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!
Larafi Auf diesen Beitrag antworten »

warum hilft denn keiner?!
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Wo liegt denn euer Problem genau?


Ibn Batuta
Larafi Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt ich habe einfach keinen Anfang. Ich habe ja keine konkrete Fktn gegeben nur das was Aenny ganz am anfang geschrieben hat. ich weiß also nicht wie ich das beweisen soll, das es Zb. für alle m kleiner 2 git, also die Kommutativität.
Und auf der anderren seite sollen wir zeigen, dass es für alle m größer 2 nicht gilt. aber wo soll ich denn meine werte einsetzen. ich weiß ja nur, dass der (betrag m) = m und (G,o) die gruppe der bij. abbildungen. Ja und das M nicht-leer und endlich ist.
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Die Menge aller bijektiven Selbstabbildungen formal geschrieben sieht ja so aus:



Kannst du damit was anfangen? Prüfe nun einfach für |M|=1, |M|=2, ob sie abelsch sind. smile


Ibn Batuta
Larafi Auf diesen Beitrag antworten »

hmm...die definition kenne ich auch.. mein problem ist genau das überprüfen wie überprüfe ich das denn?? der betrag von M ist gleich eins wenn m= 1 ist...hört sich logisch an...bei m=2 auch...aber wie schriebt man das denn formal auf? Und wie beweist man das???? und dan muss man jja noch beweisen, dass es für die m größer 2 nicht gilt.... traurig
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Larafi
hmm...die definition kenne ich auch.. mein problem ist genau das überprüfen wie überprüfe ich das denn?? der betrag von M ist gleich eins wenn m= 1 ist...hört sich logisch an...bei m=2 auch...aber wie schriebt man das denn formal auf? Und wie beweist man das???? und dan muss man jja noch beweisen, dass es für die m größer 2 nicht gilt.... traurig


Ich gebe dir mal das Beispiel für .

Für hast du doch . Es gibt nur eine Abbildung , nämlich die Identität von , da . Diese ist doch klar bijektiv und damit ist schon gezeigt, daß für abelsch ist.

Wie viele Abbildungen hast du nun für ? Und warum müßen die abelsch sein?


Ibn Batuta
Larafi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gebe dir mal das Beispiel für .

Für hast du doch . Es gibt nur eine Abbildung , nämlich die Identität von , da . Diese ist doch klar bijektiv und damit ist schon gezeigt, daß für abelsch ist.

Wie viele Abbildungen hast du nun für ? Und warum müßen die abelsch sein?

für habe ich dann M={{m1},{m2}} oder?
warum müssen die abelsch, also kommutativ sein.....!??!??!verwirrt
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Larafi
für habe ich dann M={{m1},{m2}} oder?


Das ist falsch.

Zitat:
Original von Larafi
warum müssen die abelsch, also kommutativ sein.....!??!??!verwirrt


Das sollst du mir doch analog zu meinem Beispiel von vorhin zeigen. Ermittle zuerst einmal die Elemente der Menge für . Verwende anschließend die Bijektion der Abbildungen.


Ibn Batuta
Larafi Auf diesen Beitrag antworten »

wären das dann 3 Elemente? Also M={{m1},{m2},{m1,m2}} ??? ich verstehe das sonst echt nicht....ich habe versucht es analog zu machen aber ich komme auf keinen grünen zweig....
mir fällt das ehrlich schwer und ich bracuhe das morgen......... geschockt
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Die Menge könnte für z.B. so aussehen:
mit .

Preisfrage. Wie viele Abbildungen gibt es?


Ibn Batuta
Larafi Auf diesen Beitrag antworten »

ja zwei m und n
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Larafi
ja zwei m und n


Das sind keine Abbildungen. Was sind m und n?


Ibn Batuta
Larafi Auf diesen Beitrag antworten »

Elemente.

Also gibt es auch nur eine Abbildung?
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Larafi
Also gibt es auch nur eine Abbildung?


Nein.
Es gibt zwei bijektive Abbildungen . Damit kannst du jetzt zeigen, daß für abelsch ist.


Ibn Batuta
Larafi Auf diesen Beitrag antworten »

dachte ich am anfang doch auch....aber da war das wahrscheinlich formal nicht okay weil du meintest das ist falsch...

wie auch immer...bedeutet abelsch kommutativ?
Das zu zeigen ist ja mein Problem weil ich keine konkrete funktion habe.

Ich fasse mal zusammen:

|M| = 1 , dafür gibt es eine bijektive abbildung (m auf m)
|M| = 2, dafüt gibt es zwei bijektive abbildungen

bei |M|=3 dürfte das jetzt aber nicht mehr gelten........aber waruM??!

es tut mir so leid dass ich dich enttäuschen muss.....aber ich verstehe das wirklich nciht richtig...
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Also pass auf. Ich mach es dir für vor und du versuchst dann im Anschluss es auch wirklich zu verstehen, ok? Sonst macht es ja keinen Sinn.

, also sei , wobei ist gibt es zwei bijektive Abbildungen . Die sehen so aus: und ist erklärt durch und . Nun gilt doch . Das ist aber dasselbe wie , da . Also ist es für |M|=2 abelsch (=kommutativ).

Kannst du dir denken, warum es für |M|=3 nicht abelsch sein kann?


Ibn Batuta
Larafi Auf diesen Beitrag antworten »

okay also nachvollziehen kann ich das.... smile

aber weiter auch nicht....ich weiß wirlkich nicht warum das dann nicht kommutativ sein kann.....unglücklich

gäbe es denn bei m=3 , 3abb.??
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Wie viele Elemente hast du bei ? smile Und wie könnte die Menge dann aussehen? smile


Ibn Batuta
Larafi Auf diesen Beitrag antworten »

das müsste dann 3 elemente haben............... verwirrt
ich weiß nciht sollte ich vllt aufgeben....ß?! ich bin ein hoffnungsloser fall
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Larafi
das müsste dann 3 elemente haben............... verwirrt
ich weiß nciht sollte ich vllt aufgeben....ß?! ich bin ein hoffnungsloser fall


Es wird nicht aufgegeben! smile

Richtig, hat natürlich drei Elemente. Sie könnte z.B. so aussehen: mit (man nennt sie auch paarweise verschieden). Nun basteln wir uns wieder zwei bijektive Abbildungen mit





Dann ist doch und . Daran sieht man doch, daß ist, da . Ergo, für ist es nicht abelsch.

War das nun soo schwer sich das zu konstruieren?


Ibn Batuta
Larafi Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe das verstanden, wirklich ganz oft durchgelesen.
aber ich komme auf swas nicht selber drauf unglücklich
aber kann man das formaal so aufschreiben?
Larafig Auf diesen Beitrag antworten »

genauso gilt das dann ja für m+1 also (4,5,6........) usw...

muss man das noch iwie formal aufschreiben?
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast ja schon gezeigt, daß es abelsch und für nicht abelsch ist.
So war es ja in deiner Angabe auch verlangt.


Ibn Batuta
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ibn Batuta
und für nicht abelsch ist.


Das ist noch nicht gezeigt, bisher steht nur eine von dir (nicht von Larafi) entwickelte Beweisidee im Raum. Für |M|=3 ist gezeigt, dass es nicht abelsch ist, für |M|>3 ist das noch zu zeigen.
Larafi Auf diesen Beitrag antworten »

okay das wirkt irgendwie total logisch wie zeigt man das denn jetzt?? VIEEEEEEEEEEEEEELEN LIEBEN HERZLICHEN DANK Ibn Batuta.
und danke dass du gedult mit mir hattest!!!
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