Kommutativität

17.11.2010, 21:50

Aenny

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Kommutativität

Es sei M eine nicht-leere endliche Menge mit Betrag M = m und G die Gruppe aller bijektiven Abbildungen
von M nach M. (Diese Gruppe wird mit Sm bezeichnet.) Zeigen Sie: Ist m <= 2, so ist G kommutativ. Ist
m > 2, so ist G nicht kommutativ.

ich habe leider keine Ansätze, Ideen o.ä
ich bitte um Hilfe

17.11.2010, 21:57

Evelyn89

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Also, dass die Abb. für m>2 nicht kommutativ ist, kannst du mit einem Beispiel für m=3 zeigen und dann begründen warum es für m>3 auch nicht kommutativ sein kann.

Für m<=2 kannst du es ganz einfach durchrechnen. Bei m=1 ist nichts zu machen und bei m=2 stellst du die zugehörige Abbildungstafel auf und zeigst damit die Kommutativität.

18.11.2010, 16:12

Aenny

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ich glaub ich bin zu blöd für diese aufgabe =(
Ich versteh das leider nicht...

18.11.2010, 16:24

wisili

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Vielleicht findest du den Einstieg so:
Bijektionen einer endlichen Menge M -> M sind Permutationen von M.
Sie bilden folglich die «Symmetrische Gruppe» der Ordnung |M|.

21.11.2010, 15:34

Larafi

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ich habe das gleiche probelm wie aenny....ich habe doch gar keine fktn oder so, wo ich mein wert für m einsetzen kann...wie soll ich denn dann zeigen, dass es für alle m kleiner gleich 2 gilt??
bitte um hilfe..............

21.11.2010, 16:17

Larafi

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Hiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiilfeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee!!!!!!!!!
!!!!!!!!!!!!

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21.11.2010, 16:30

Larafi

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warum hilft denn keiner?!

21.11.2010, 16:34

Ibn Batuta

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Wo liegt denn euer Problem genau?

Ibn Batuta

21.11.2010, 16:44

Larafi

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Wie gesagt ich habe einfach keinen Anfang. Ich habe ja keine konkrete Fktn gegeben nur das was Aenny ganz am anfang geschrieben hat. ich weiß also nicht wie ich das beweisen soll, das es Zb. für alle m kleiner 2 git, also die Kommutativität.
Und auf der anderren seite sollen wir zeigen, dass es für alle m größer 2 nicht gilt. aber wo soll ich denn meine werte einsetzen. ich weiß ja nur, dass der (betrag m) = m und (G,o) die gruppe der bij. abbildungen. Ja und das M nicht-leer und endlich ist.

21.11.2010, 16:50

Ibn Batuta

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Die Menge aller bijektiven Selbstabbildungen formal geschrieben sieht ja so aus:

$\begin{eqnarray*} G(M) := \{ f : M \rightarrow M | f bijektiv \} \end{eqnarray*}$

Kannst du damit was anfangen? Prüfe nun einfach für |M|=1, |M|=2, ob sie abelsch sind. smile

smile

Ibn Batuta

21.11.2010, 16:53

Larafi

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hmm...die definition kenne ich auch.. mein problem ist genau das überprüfen wie überprüfe ich das denn?? der betrag von M ist gleich eins wenn m= 1 ist...hört sich logisch an...bei m=2 auch...aber wie schriebt man das denn formal auf? Und wie beweist man das???? und dan muss man jja noch beweisen, dass es für die m größer 2 nicht gilt.... traurig

traurig

21.11.2010, 17:11

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Larafi
hmm...die definition kenne ich auch.. mein problem ist genau das überprüfen wie überprüfe ich das denn?? der betrag von M ist gleich eins wenn m= 1 ist...hört sich logisch an...bei m=2 auch...aber wie schriebt man das denn formal auf? Und wie beweist man das???? und dan muss man jja noch beweisen, dass es für die m größer 2 nicht gilt.... traurig

traurig

Ich gebe dir mal das Beispiel für $\begin{eqnarray*} |M| = 1 \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} |M|=1 \end{eqnarray*}$ hast du doch $\begin{eqnarray*} M=\{m\} \end{eqnarray*}$ . Es gibt nur eine Abbildung $\begin{eqnarray*} M \rightarrow M \end{eqnarray*}$ , nämlich die Identität von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} id_M \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} m \mapsto m \end{eqnarray*}$ . Diese ist doch klar bijektiv und damit ist schon gezeigt, daß $\begin{eqnarray*} G(M) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |M|=1 \end{eqnarray*}$ abelsch ist.

Wie viele Abbildungen hast du nun für $\begin{eqnarray*} |M|=2 \end{eqnarray*}$ ? Und warum müßen die abelsch sein?

Ibn Batuta

21.11.2010, 17:18

Larafi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gebe dir mal das Beispiel für $\begin{eqnarray*} |M| = 1 \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} |M|=1 \end{eqnarray*}$ hast du doch $\begin{eqnarray*} M=\{m\} \end{eqnarray*}$ . Es gibt nur eine Abbildung $\begin{eqnarray*} M \rightarrow M \end{eqnarray*}$ , nämlich die Identität von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} id_M \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} m \mapsto m \end{eqnarray*}$ . Diese ist doch klar bijektiv und damit ist schon gezeigt, daß $\begin{eqnarray*} G(M) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |M|=1 \end{eqnarray*}$ abelsch ist.

Wie viele Abbildungen hast du nun für $\begin{eqnarray*} |M|=2 \end{eqnarray*}$ ? Und warum müßen die abelsch sein?

für $\begin{eqnarray*} |M| = 2 \end{eqnarray*}$ habe ich dann M={{m1},{m2}} oder?
warum müssen die abelsch, also kommutativ sein.....!??!??! verwirrt

verwirrt

21.11.2010, 17:33

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Larafi
für $\begin{eqnarray*} |M| = 2 \end{eqnarray*}$ habe ich dann M={{m1},{m2}} oder?

Das ist falsch.

Zitat:

Original von Larafi
warum müssen die abelsch, also kommutativ sein.....!??!??! verwirrt

verwirrt

Das sollst du mir doch analog zu meinem Beispiel von vorhin zeigen. Ermittle zuerst einmal die Elemente der Menge für $\begin{eqnarray*} |M|=2 \end{eqnarray*}$ . Verwende anschließend die Bijektion der Abbildungen.

Ibn Batuta

21.11.2010, 17:37

Larafi

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wären das dann 3 Elemente? Also M={{m1},{m2},{m1,m2}} ??? ich verstehe das sonst echt nicht....ich habe versucht es analog zu machen aber ich komme auf keinen grünen zweig....
mir fällt das ehrlich schwer und ich bracuhe das morgen......... geschockt

geschockt

21.11.2010, 17:40

Ibn Batuta

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Die Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ könnte für $\begin{eqnarray*} |M| = 2 \end{eqnarray*}$ z.B. so aussehen:
$\begin{eqnarray*} M = \{m, n\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m \ne n \end{eqnarray*}$ .

Preisfrage. Wie viele Abbildungen gibt es?

Ibn Batuta

21.11.2010, 17:44

Larafi

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ja zwei m und n

21.11.2010, 17:44

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Larafi
ja zwei m und n

Das sind keine Abbildungen. Was sind m und n?

Ibn Batuta

21.11.2010, 17:47

Larafi

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Elemente.

Also gibt es auch nur eine Abbildung?

21.11.2010, 17:50

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Larafi
Also gibt es auch nur eine Abbildung?

Nein.
Es gibt zwei bijektive Abbildungen $\begin{eqnarray*} g, h: M \rightarrow M \end{eqnarray*}$ . Damit kannst du jetzt zeigen, daß $\begin{eqnarray*} G(M) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |M|=2 \end{eqnarray*}$ abelsch ist.

Ibn Batuta

21.11.2010, 17:56

Larafi

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dachte ich am anfang doch auch....aber da war das wahrscheinlich formal nicht okay weil du meintest das ist falsch...

wie auch immer...bedeutet abelsch kommutativ?
Das zu zeigen ist ja mein Problem weil ich keine konkrete funktion habe.

Ich fasse mal zusammen:

|M| = 1 , dafür gibt es eine bijektive abbildung (m auf m)
|M| = 2, dafüt gibt es zwei bijektive abbildungen

bei |M|=3 dürfte das jetzt aber nicht mehr gelten........aber waruM??!

es tut mir so leid dass ich dich enttäuschen muss.....aber ich verstehe das wirklich nciht richtig...

21.11.2010, 18:07

Ibn Batuta

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Also pass auf. Ich mach es dir für $\begin{eqnarray*} |M|=2 \end{eqnarray*}$ vor und du versuchst dann im Anschluss es auch wirklich zu verstehen, ok? Sonst macht es ja keinen Sinn.

$\begin{eqnarray*} |M|=2 \end{eqnarray*}$ , also sei $\begin{eqnarray*} M={m,n} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} m \ne n \end{eqnarray*}$ ist gibt es zwei bijektive Abbildungen $\begin{eqnarray*} g, h: M \rightarrow M \end{eqnarray*}$ . Die sehen so aus: $\begin{eqnarray*} g = id_M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ist erklärt durch $\begin{eqnarray*} h(m)=n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(n)=m \end{eqnarray*}$ . Nun gilt doch $\begin{eqnarray*} h\circ g = h \end{eqnarray*}$ . Das ist aber dasselbe wie $\begin{eqnarray*} g \circ h=h \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} g = id_M \end{eqnarray*}$ . Also ist es für |M|=2 abelsch (=kommutativ).

Kannst du dir denken, warum es für |M|=3 nicht abelsch sein kann?

Ibn Batuta

21.11.2010, 18:17

Larafi

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okay also nachvollziehen kann ich das.... smile

smile

aber weiter auch nicht....ich weiß wirlkich nicht warum das dann nicht kommutativ sein kann..... unglücklich

unglücklich

gäbe es denn bei m=3 , 3abb.??

21.11.2010, 18:29

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie viele Elemente hast du bei $\begin{eqnarray*} |M|=3 \end{eqnarray*}$ ? smile

smile

Und wie könnte die Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ dann aussehen? smile

smile

Ibn Batuta

21.11.2010, 18:37

Larafi

Auf diesen Beitrag antworten »

das müsste dann 3 elemente haben............... verwirrt

verwirrt

ich weiß nciht sollte ich vllt aufgeben....ß?! ich bin ein hoffnungsloser fall

21.11.2010, 18:57

Ibn Batuta

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Larafi
das müsste dann 3 elemente haben............... verwirrt

verwirrt

ich weiß nciht sollte ich vllt aufgeben....ß?! ich bin ein hoffnungsloser fall

Es wird nicht aufgegeben! smile

smile

Richtig, $\begin{eqnarray*} |M|=3 \end{eqnarray*}$ hat natürlich drei Elemente. Sie könnte z.B. so aussehen: $\begin{eqnarray*} M = \{m,n,p\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m\ne n\ne p \end{eqnarray*}$ (man nennt sie auch paarweise verschieden). Nun basteln wir uns wieder zwei bijektive Abbildungen $\begin{eqnarray*} g, h: M \rightarrow M \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} <br /> g(x):=\begin{cases} m & \text{für } x = n<br /> n & \text{für } x = m<br /> x & \text{sonst}<br /> \end{cases}<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> h(x):=\begin{cases} p & \text{für } x = p<br /> m & \text{für } x = p<br /> x & \text{sonst}<br /> \end{cases}<br /> \end{eqnarray*}$

Dann ist doch $\begin{eqnarray*} h \circ g(n) = p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \circ h(n) = m \end{eqnarray*}$ . Daran sieht man doch, daß $\begin{eqnarray*} h \circ g \ne g \circ h \end{eqnarray*}$ ist, da $\begin{eqnarray*} p \ne m \end{eqnarray*}$ . Ergo, für $\begin{eqnarray*} |M|=3 \end{eqnarray*}$ ist es nicht abelsch.

War das nun soo schwer sich das zu konstruieren?

Ibn Batuta

21.11.2010, 19:28

Larafi

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ich habe das verstanden, wirklich ganz oft durchgelesen.
aber ich komme auf swas nicht selber drauf unglücklich

unglücklich

aber kann man das formaal so aufschreiben?

21.11.2010, 19:31

Larafig

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genauso gilt das dann ja für m+1 also (4,5,6........) usw...

muss man das noch iwie formal aufschreiben?

21.11.2010, 19:37

Ibn Batuta

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Du hast ja schon gezeigt, daß es $\begin{eqnarray*} |M| \le 2 \end{eqnarray*}$ abelsch und für $\begin{eqnarray*} |M| > 2 \end{eqnarray*}$ nicht abelsch ist.
So war es ja in deiner Angabe auch verlangt.

Ibn Batuta

21.11.2010, 19:56

Iorek

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Zitat:

Original von Ibn Batuta
und für $\begin{eqnarray*} |M| > 2 \end{eqnarray*}$ nicht abelsch ist.

Das ist noch nicht gezeigt, bisher steht nur eine von dir (nicht von Larafi) entwickelte Beweisidee im Raum. Für |M|=3 ist gezeigt, dass es nicht abelsch ist, für |M|>3 ist das noch zu zeigen.

21.11.2010, 20:03

Larafi

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okay das wirkt irgendwie total logisch wie zeigt man das denn jetzt?? VIEEEEEEEEEEEEEELEN LIEBEN HERZLICHEN DANK Ibn Batuta.
und danke dass du gedult mit mir hattest!!!

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