injektiver Ringhomomorphismus

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clemensum Auf diesen Beitrag antworten »
injektiver Ringhomomorphismus
Meine Frage:
Sei R ein Ring ohne Eins. Definiere auf der Menge Verknüpfungen durch:
und
Zeige, dass dadurch zu einem Ring mit Eins wird, der R als Teilring enthält.

Meine Ideen:
Ich habe schon erfolgreich nachgewisen, dass es sich um einen Ring handelt. Um nun zu zeigen, dass R Teilring ist, muss ich zeigen, dass:
ein injektiver Ringhomomorphismus ist.

Nur, ich habe leider meine Schwirigkeiten, wie ich letzteres zeigen kann, ich muss ja zeigen, dass gilt, nur, was ist bitte in diesem Beispiel .
Kann mir dies jemand sagen. Hier komm ich nämlich nicht weiter.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: injektiver Ringhomomorphismus
Hi clemensum,

Zitat:
Original von clemensum
ich muss ja zeigen, dass gilt

Sicher? Augenzwinkern

Ein Element aus hat die Form , mir und .
Zeige also für beliebige , .
Und natürlich Analoges für die Multiplikation.

Gruß,
Reksilat.
clemenum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: injektiver Ringhomomorphismus
Danke dir für diesen Hinweis.

Nur, wenn ich hab: , wie kann ich dann weiter machen, was ist bitte rechts vom Istgleichzeichen das Ergebnis der Anwendung von Phi?
Was soll bitte sein. Das Phi ist doch nur für die Addition definiert. Es tut mir leid, aber ich komme hier nicht weiter.
Kann mir das jemand sagen?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: injektiver Ringhomomorphismus
ist doch oben klar definiert. Ein geordnetes Paar aus wird so abgebildet, dass der erste Eintrag auf Null abgebildet und der Zweite festgelassen wird.
Also ist
clemenum Auf diesen Beitrag antworten »
RE: injektiver Ringhomomorphismus
Ok, danke, die Addition hat nun geklappt! smile
Jedoch, bei der Multiplikation hapert es noch:

Aber,
verwirrt
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Warum bildet ihr eigentlich Tupel ab. Es ist doch und nicht

Dann klappt es übrigens auch ohne Probleme mit der Multiplikation Augenzwinkern
 
 
clemenum Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, sry, jetzt bin ich aber total verwirt. verwirrt
Heißt dies, dass ich etwa zeigen muss? Wenn nein, was muss ich (hier) zeigen?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das heißt es.
clemenum Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, nur, dann muss ich also zeigen, dass gilt. Was soll denn bitte v in unserem Fall bedeuten? verwirrt
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Na (0,xy) was den sonst?
clemenum Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, jep, des ist mir klar geworden! Augenzwinkern
Nur, habe ich noch meine Probleme zu zeigen, dass der Kern trivial ist, also dass mein Ringhomomorphismus auch tatsächlich injektiv ist. Kannst du mir einen Tipp geben, wie ich dies zeigen könnte?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Ahnung wie man da ein Problem sehen kann, es soll gelten. Du musst nur die linke Seite ausschreiben und du siehst es sofort.
clemenum Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ich habs einfach nach der herkömmlichen Definition der Injektivität gelöst:
zz.
Sei . Dies geht doch nur dann, wenn sowohl 0=0 als auch x=y ist. q.e.d.

Kann ich so auch vorgehen?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist äquivalent.
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